Question

13．我們運用圖（Ⅰ）中大正方形的面積可表示為（a+b）²，也可表示為c³+4（$\frac{1}{2}$ab），即（a+b）²=c²+4（$\frac{1}{2}$ab）由此推導(dǎo)出一個重要的結(jié)論a²+b²=c²，這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

（1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）．
（2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證：（x+2y）²=x²+4xy+4y²．

Answer 1

分析 （1）陰影部分面積由大正方形面積減去小正方形面積，也可以由四個直角三角形面積之和求出，兩者相等即可得證；
（2）拼成如圖所示圖形，根據(jù)大正方形邊長為x+2y，表示出正方形面積，再由兩個小正方形與兩個矩形面積之和求出，即可驗證．

解答 解：（1）S_陰影=4×$\frac{1}{2}$ab，S_陰影=c²-（a-b）²，
∴4×$\frac{1}{2}$ab=c²-（a-b）²，即2ab=c²-a²+2ab-b²，
則a²+b²=c²；
（2）如圖所示，

大正方形的面積為x²+4y²+4xy，也可以為（x+2y）²，
則（x+2y）²=x²+4xy+4y²．

點評 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．