Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣2)，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)M為該拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交該拋物線于另一點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)M，使四邊形DMEN是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)連接CE(如圖2)，設(shè)點(diǎn)P是位于對(duì)稱軸右側(cè)該拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q．連接PE，請(qǐng)求出當(dāng)△PQE與△COE相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣x﹣2；(2)點(diǎn)M坐標(biāo)為(1﹣，﹣)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．

【解析】

（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）先求出頂點(diǎn)D(1，﹣)，則DE＝，根據(jù)四邊形DMEN是菱形，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣，令x2﹣x﹣2＝﹣，解方程，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo).

（3）分△COE∽△PQE和△COE∽△EQP兩種情況進(jìn)行討論.

解：(1)設(shè)拋物線解析式為y＝a(x+1)(x﹣3)，

將點(diǎn)C(0，﹣2)代入，得：﹣3a＝﹣2，

解得a＝，

則拋物線解析式為

(2)∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，

∴頂點(diǎn)D(1，﹣)，即DE＝，

∵四邊形DMEN是菱形，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為﹣，

則x2﹣x﹣2＝﹣，

解得x＝1±，

∵M為該拋物線對(duì)稱軸左側(cè)上的一點(diǎn)，

∴x＜1，

則x＝1﹣，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為(1﹣，﹣)；

(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，

∴OC＝2，OE＝1，

如圖，設(shè)P(m， m2﹣m﹣2)(m＞1)，

則PQ＝|m2﹣m﹣2|，EQ＝m﹣1，

①若△COE∽△PQE，則 即

解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(5，8)或(2，﹣2)；

②若△COE∽△EQP，則即

解得m＝(負(fù)值舍去)或m＝，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．