【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸平行線,交拋物線于點(diǎn)D,當(dāng)△BDC的面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線頂點(diǎn)為E,EF⊥x軸于F點(diǎn),M(m,0)是x軸上一動點(diǎn),N是線段EF上一點(diǎn),若∠MNC=90°,請指出實(shí)數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)a=時,△BDC的面積最大,此時P(, );(3)m的變化范圍為:﹣≤m≤5
【解析】試題分析:
解:
(1)由題意得:,解得: ,
∴拋物線解析式為;
(2)令,
∴x1= -1,x2=3,即B(3,0),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′,
∴,解得: ,
∴直線BC的解析式為,
設(shè)P(a,3-a),則D(a,-a2+2a+3),
∴PD=(-a2+2a+3)-(3-a)=-a2+3a,
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
,
∴當(dāng)時,△BDC的面積最大,此時P(, );
(3)由(1),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴OF=1,EF=4,OC=3,
過C作CH⊥EF于H點(diǎn),則CH=EH=1,
當(dāng)M在EF左側(cè)時,
∵∠MNC=90°,
則△MNF∽△NCH,
∴,
設(shè)FN=n,則NH=3-n,
∴,
即n2-3n-m+1=0,
關(guān)于n的方程有解,△=(-3)2-4(-m+1)≥0,
得m≥,
當(dāng)M在EF右側(cè)時,Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45°,即∠CEF=45°,
作EM⊥CE交x軸于點(diǎn)M,則∠FEM=45°,
∵FM=EF=4,
∴OM=5,
即N為點(diǎn)E時,OM=5,
∴m≤5,
綜上,m的變化范圍為: ≤m≤5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,矩形OABC擺放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=3,OC=2,過點(diǎn)A的直線交矩形OABC的邊BC于點(diǎn)P,且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合,過點(diǎn)P作∠CPD=∠APB,PD交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E.
(1)若△APD為等腰直角三角形.
①求直線AP的函數(shù)解析式;
②在x軸上另有一點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,0),請?jiān)谥本AP和y軸上分別找一點(diǎn)M、N,使△GMN的周長最小,并求出此時點(diǎn)N的坐標(biāo)和△GMN周長的最小值.
(2)如圖2,過點(diǎn)E作EF∥AP交x軸于點(diǎn)F,若以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求直線PE的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將6張小長方形紙片(如圖1所示)按圖2所示的方式不重疊的放在長方形ABCD內(nèi),未被覆蓋的部分恰好分割為兩個長方形,面積分別為S1和S2.已知小長方形紙片的長為a,寬為b,且a>b.當(dāng)AB長度不變而BC變長時,將6張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi),S1與S2的差總保持不變,則a,b滿足的關(guān)系是
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,在數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn),所表示的數(shù)分別為-10,4,點(diǎn)A以每秒5個單位長度的速度向右運(yùn)動,同時點(diǎn)B以每秒3個單位長度的速度也向左運(yùn)動,如果設(shè)運(yùn)動時間為t秒,解答下列問題:
(1)運(yùn)動前線段AB的長為 ; 運(yùn)動1秒后線段AB的長為 ;
(2)運(yùn)動t秒后,點(diǎn)A,點(diǎn)B運(yùn)動的距離分別為 ;用t表示A,B分別為 .
(3)求t為何值時,點(diǎn)A與點(diǎn)B恰好重合;
(4)在上述運(yùn)動的過程中,是否存在某一時刻t,使得線段AB的長為6,若存在,求t的值; 若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,是假命題的是( )
A. 過邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線,將這個多邊形分成個三角形
B. 三角形中,到三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)
C. 三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分
D. 一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高,汽車已越來越多地進(jìn)入到各個家庭.某大型超市為緩解停車難問題,建筑設(shè)計(jì)師提供了樓頂停車場的設(shè)計(jì)示意圖.按規(guī)定,停車場坡道口上坡要張貼限高標(biāo)志,以便告知車輛能否安全駛?cè)耄鐖D,地面所在的直線ME與樓頂所在的直線AC是平行的,CD的厚度為0.5m,求出汽車通過坡道口的限高DF的長(結(jié)果精確到0.1m,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了加強(qiáng)學(xué)生的安全意識,組織學(xué)生參加安全知識競賽,并從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題:
(1)若組的頻數(shù)比組小,則頻數(shù)分布直方圖中________,________;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中________,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若成績在分以上為優(yōu)秀,全校共有名學(xué)生,請估計(jì)成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人分別從相距100km的A、B兩地同時出發(fā)相向而行,并以各自的速度勻速行駛.甲出發(fā)2h后到達(dá)B地立即按原路返回,返回時速度提高了30km/h,回到A地后在A地休息等乙,乙在出發(fā)5h后到達(dá)A地.(友情提醒:可以借助用線段圖分析題目)
(1)乙的速度是_______,甲從A地到B地的速度是_______,甲在出發(fā)_______小時到達(dá)A地.
(2)出發(fā)多長時間兩人首次相遇?
(3)出發(fā)多長時間時,兩人相距30千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E,F分別是邊AD,CD上的兩個動點(diǎn),且滿足AE+CF=BD=2,設(shè)△BEF的面積為S,則S的取值范圍是______.
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