【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0,6),與x軸交于點B(﹣2,0),C(6,0).
(1)直接寫出拋物線的解析式及其對稱軸;
(2)如圖2,連接AB,AC,設(shè)點P(m,n)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動點,且在對稱軸右側(cè),過點P作PD⊥AC于點E,交x軸于點D,過點P作PG∥AB交AC于點F,交x軸于點G.設(shè)線段DG的長為d,求d與m的函數(shù)關(guān)系式,并注明m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若△PDG的面積為,
①求點P的坐標(biāo);
②設(shè)M為直線AP上一動點,連接OM交直線AC于點S,則點M在運動過程中,在拋物線上是否存在點R,使得△ARS為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點M及其對應(yīng)的點R的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y(x﹣2)2+8,拋物線對稱軸為直線x=2;(2)d=m2m+4(2<m<6);(3)①點P坐標(biāo)為(5,),②M1(,),R1(2,8);M2(,),R2(2,8);M3(,),R3(4,6);M4(6,3),R4(4,6).
【解析】
(1)已知拋物線與x軸交點B、C,故可設(shè)交點式,再把點A代入即求得拋物線解析式.用配方法或公式求得對稱軸.
(2)過點P作PH⊥x軸于點H,由PD⊥AD于點E易證∠PDH=45°,故DH=PH=n.由PG∥AB易證△PGH∽△ABO,利用對應(yīng)邊成比例可得GHn,把含m的式子代入d=DH﹣GH即得到d與m的函數(shù)關(guān)系式,再由點P的位置確定2<m<6.
(3)①用n表示DG、PH,代入S△PDGDGPH,求得n的值(舍去負(fù)值),再利用nm2+2m+6解關(guān)于m的方程即求得點P坐標(biāo).
②因為△ARS為等腰直角三角形且AS與y軸夾角為45°,故AR與y軸夾角為45°或90°.由于不確定△ARS哪個為直角頂點,故需分3種情況討論,畫出圖形,利用45°或90°來確定點R、S的位置,進(jìn)而求點R、S坐標(biāo),再由S的坐標(biāo)求直線OM解析式,把直線OM與直線AP解析式聯(lián)立方程組,解得點M坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線與x軸交于點B(﹣2,0),C(6,0)
∴設(shè)交點式y=a(x+2)(x﹣6)
∵拋物線過點A(0,6)
∴﹣12a=6
∴a
∴拋物線解析式為y(x+2)(x﹣6)x2+2x+6(x﹣2)2+8
∴拋物線對稱軸為直線x=2.
(2)過點P作PH⊥x軸于點H,如圖1
∴∠PHD=90°
∵點P(m,n)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動點且在對稱軸右側(cè)
∴2<m<6,PH=nm2+2m+6,n>0
∵OA=OC=6,∠AOC=90°
∴∠ACO=45°
∵PD⊥AC于點E
∴∠CED=90°
∴∠CDE=90°﹣∠ACO=45°
∴DH=PH=n
∵PG∥AB
∴∠PGH=∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴
∴GHn
∴d=DH﹣GH=nnn(m2+2m+6)m2m+4(2<m<6)
(3)①∵S△PDGDGPH
∴nn
解得:n1,n2(舍去)
∴m2+2m+6
解得:m1=﹣1(舍去),m2=5
∴點P坐標(biāo)為(5,)
②在拋物線上存在點R,使得△ARS為等腰直角三角形.
設(shè)直線AP解析式為y=kx+6
把點P代入得:5k+6
∴k
∴直線AP:yx+6
i)若∠RAS=90°,且S在線段AC上,如圖2
∵直線AC解析式為y=﹣x+6
∴直線AR解析式為y=x+6
解得:(即點A)
∴R(2,8)
∵∠ASR=∠OAC=45°
∴RS∥y軸
∴xS=xR=2
∴S(2,4)
∴直線OM:y=2x
∵ 解得:
∴M(,)
ii)若∠RAS=90°,且S在線段CA延長線上,如圖3
∴R(2,8)
∴yS=yR=8
∴S(﹣2,8)
∴直線OM:y=﹣4x
∵ 解得:
∴M(,)
iii)若∠ASR=90°,如圖4
∴∠SAR=∠ACO=45°
∴AR∥x軸
∴R(4,6)
∵S在AR的垂直平分線上
∴S(2,4)
∴M(,)
iiii)若∠ARS=90°,如圖5
∴∠SAR=∠ACO=45°,RS∥y軸
∴AR∥x軸
∴R(4,6)
∴S(4,2)
∴直線OM:yx
∵ 解得:
∴M(6,3)
綜上所述,M1(,),R1(2,8);M2(,),R2(2,8);M3(,),R3(4,6);M4(6,3),R4(4,6).
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【題目】如圖,正方形的邊長為,點是邊的中點,點是邊上一動點(不含端點),于,與直線交于.
求證:.
若試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式.
求的最小值.
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【題目】甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,如圖,線段OA表示貨車離甲地距離y(千米)與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系;折線OBCDA表示轎車離甲地距離y(千米)與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)當(dāng)轎車剛到乙地時,此時貨車距離乙地 千米;
(2)當(dāng)轎車與貨車相遇時,求此時x的值;
(3)在兩車行駛過程中,當(dāng)轎車與貨車相距20千米時,求x的值.
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【題目】山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃,其進(jìn)價為每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低2元,則平均每天的銷售可增加20千克,若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元,請回答:
(1)每千克核桃應(yīng)降價多少元?
(2)在平均每天獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客,贏得市場,該店應(yīng)按原售價的幾折出售?
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【題目】某縣為落實“精準(zhǔn)扶貧惠民政策”,計劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成;若乙隊單獨施工,則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍.如果由甲、乙隊先合作施工15天,那么余下的工程由甲隊單獨完成還需5天.
(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天?
(2)為了縮短工期以減少對居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊合作完成.則甲、乙兩隊合作完成該工程需要多少天?
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【題目】如圖,以的一邊為直徑的交于點,點是弧的中點,連接并延長交于點.
(1)求證:;
(2)①若,當(dāng)弧的長度是______時,四邊形是菱形;
②在①的情況下,當(dāng)______時,是的切線.
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【題目】如圖,矩形以點為圓心,以任意長為半徑作弧分別交、于兩點,再分別以點為圓心,以大于的長為半徑作弧交于點,作射線交于點,若,則矩形的面積等于__________.
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【題目】如圖①,在矩形中,,對角線相交于點,動點由點出發(fā),沿向點運動.設(shè)點的運動路程為,的面積為,與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示,則邊的長為( ).
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【題目】為了了解某縣中學(xué)生參加“科普知識”競賽成績的情況,隨機抽查了部分參賽學(xué)生的成績(單位:分),根據(jù)成績分成如下四個組:,,,,并制作出如下的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖.
請根據(jù)圖表中的信息,解答下列問題:
(1)扇形統(tǒng)計圖中的________,并補全頻數(shù)分布直方圖.
(2)4個小組每組推選1人,然后從4人中隨機抽取2人參加頒獎典禮,恰好抽中A,C兩組學(xué)生的概率是多少?請列表或面樹狀圖說明.
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