【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0,6),與x軸交于點(diǎn)B(﹣2,0),C(6,0).
(1)直接寫出拋物線的解析式及其對(duì)稱軸;
(2)如圖2,連接AB,AC,設(shè)點(diǎn)P(m,n)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且在對(duì)稱軸右側(cè),過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PG∥AB交AC于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G.設(shè)線段DG的長(zhǎng)為d,求d與m的函數(shù)關(guān)系式,并注明m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若△PDG的面積為,
①求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②設(shè)M為直線AP上一動(dòng)點(diǎn),連接OM交直線AC于點(diǎn)S,則點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中,在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得△ARS為等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y(x﹣2)2+8,拋物線對(duì)稱軸為直線x=2;(2)d=m2m+4(2<m<6);(3)①點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,),②M1(,),R1(2,8);M2(,),R2(2,8);M3(,),R3(4,6);M4(6,3),R4(4,6).
【解析】
(1)已知拋物線與x軸交點(diǎn)B、C,故可設(shè)交點(diǎn)式,再把點(diǎn)A代入即求得拋物線解析式.用配方法或公式求得對(duì)稱軸.
(2)過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H,由PD⊥AD于點(diǎn)E易證∠PDH=45°,故DH=PH=n.由PG∥AB易證△PGH∽△ABO,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得GHn,把含m的式子代入d=DH﹣GH即得到d與m的函數(shù)關(guān)系式,再由點(diǎn)P的位置確定2<m<6.
(3)①用n表示DG、PH,代入S△PDGDGPH,求得n的值(舍去負(fù)值),再利用nm2+2m+6解關(guān)于m的方程即求得點(diǎn)P坐標(biāo).
②因?yàn)?/span>△ARS為等腰直角三角形且AS與y軸夾角為45°,故AR與y軸夾角為45°或90°.由于不確定△ARS哪個(gè)為直角頂點(diǎn),故需分3種情況討論,畫出圖形,利用45°或90°來確定點(diǎn)R、S的位置,進(jìn)而求點(diǎn)R、S坐標(biāo),再由S的坐標(biāo)求直線OM解析式,把直線OM與直線AP解析式聯(lián)立方程組,解得點(diǎn)M坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)B(﹣2,0),C(6,0)
∴設(shè)交點(diǎn)式y=a(x+2)(x﹣6)
∵拋物線過點(diǎn)A(0,6)
∴﹣12a=6
∴a
∴拋物線解析式為y(x+2)(x﹣6)x2+2x+6(x﹣2)2+8
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=2.
(2)過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H,如圖1
∴∠PHD=90°
∵點(diǎn)P(m,n)是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)且在對(duì)稱軸右側(cè)
∴2<m<6,PH=nm2+2m+6,n>0
∵OA=OC=6,∠AOC=90°
∴∠ACO=45°
∵PD⊥AC于點(diǎn)E
∴∠CED=90°
∴∠CDE=90°﹣∠ACO=45°
∴DH=PH=n
∵PG∥AB
∴∠PGH=∠ABO
∴△PGH∽△ABO
∴
∴GHn
∴d=DH﹣GH=nnn(m2+2m+6)m2m+4(2<m<6)
(3)①∵S△PDGDGPH
∴nn
解得:n1,n2(舍去)
∴m2+2m+6
解得:m1=﹣1(舍去),m2=5
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,)
②在拋物線上存在點(diǎn)R,使得△ARS為等腰直角三角形.
設(shè)直線AP解析式為y=kx+6
把點(diǎn)P代入得:5k+6
∴k
∴直線AP:yx+6
i)若∠RAS=90°,且S在線段AC上,如圖2
∵直線AC解析式為y=﹣x+6
∴直線AR解析式為y=x+6
解得:(即點(diǎn)A)
∴R(2,8)
∵∠ASR=∠OAC=45°
∴RS∥y軸
∴xS=xR=2
∴S(2,4)
∴直線OM:y=2x
∵ 解得:
∴M(,)
ii)若∠RAS=90°,且S在線段CA延長(zhǎng)線上,如圖3
∴R(2,8)
∴yS=yR=8
∴S(﹣2,8)
∴直線OM:y=﹣4x
∵ 解得:
∴M(,)
iii)若∠ASR=90°,如圖4
∴∠SAR=∠ACO=45°
∴AR∥x軸
∴R(4,6)
∵S在AR的垂直平分線上
∴S(2,4)
∴M(,)
iiii)若∠ARS=90°,如圖5
∴∠SAR=∠ACO=45°,RS∥y軸
∴AR∥x軸
∴R(4,6)
∴S(4,2)
∴直線OM:yx
∵ 解得:
∴M(6,3)
綜上所述,M1(,),R1(2,8);M2(,),R2(2,8);M3(,),R3(4,6);M4(6,3),R4(4,6).
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【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),于,與直線交于.
求證:.
若試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式.
求的最小值.
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【題目】甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,如圖,線段OA表示貨車離甲地距離y(千米)與時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系;折線OBCDA表示轎車離甲地距離y(千米)與時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)當(dāng)轎車剛到乙地時(shí),此時(shí)貨車距離乙地 千米;
(2)當(dāng)轎車與貨車相遇時(shí),求此時(shí)x的值;
(3)在兩車行駛過程中,當(dāng)轎車與貨車相距20千米時(shí),求x的值.
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(1)每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元?
(2)在平均每天獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客,贏得市場(chǎng),該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售?
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(1)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天?
(2)為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成.則甲、乙兩隊(duì)合作完成該工程需要多少天?
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(1)求證:;
(2)①若,當(dāng)弧的長(zhǎng)度是______時(shí),四邊形是菱形;
②在①的情況下,當(dāng)______時(shí),是的切線.
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A. 3B. 4C. 5D. 6
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(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的________,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.
(2)4個(gè)小組每組推選1人,然后從4人中隨機(jī)抽取2人參加頒獎(jiǎng)典禮,恰好抽中A,C兩組學(xué)生的概率是多少?請(qǐng)列表或面樹狀圖說明.
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