Question

如圖1，一條拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=－1和x=3時(shí)，的值相等．直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，另一個(gè)交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．

(1)求這條拋物線的表達(dá)式．

(2)動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．

①若使△BPQ為直角三角形，請求出所有符合條件的值；

②求為何值時(shí)，四邊形ACQ P的面積有最小值，最小值是多少？

(3)如圖2，當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到OB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥軸，交拋物線于點(diǎn)D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿軸向左平移個(gè)單位長度（），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為，求與的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

 解：(1) ∵當(dāng)和時(shí)，的值相等，∴拋物線的對稱軸為直線，把和分別代入中，得頂點(diǎn)，另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(6，6)， ····································································· 2分

則可設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將(6，6)代入其中，解得，

∴拋物線的表達(dá)式為，即．··············································· 3分

 (2)如圖1，當(dāng)時(shí)， 解得 ．由題意知，A(2，0)，B(4，0)，

所以OA=2，OB=4；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)C(0，－3)，OC=3，由勾股定理知BC=5，

OP=1×t=t，BQ=．···································································································· 4分

①∵∠PBQ是銳角，

∴有∠PQB=90º或∠BPQ=90º兩種情況：

當(dāng)∠PQB=90º時(shí)， 可得△PQB∽△COB，

∴，∴，

∴；······························································· 5分

當(dāng)∠BPQ=90º時(shí)， 可得△BPQ∽△BOC，

 ∴，∴，

∴．····························································· 6分

由題意知，

∴當(dāng)或時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形． ······································ 7分

②如圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥AB于G， ∴△BGQ∽△BOC，

∴，

∴，∴，····································································································· 8分

∴S_{四邊形ACQP}=S_△ABC- S_△BPQ==

==．

∵＞0， ∴四邊形ACQP的面積有最小值， 又∵滿足，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形ACQP的面積最小，最小值是． ····················································· 10分

(3)如圖2，由OB=4得OP=2， 把代入中，得，所以D（2， －3），直線CD∥x軸，設(shè)直線OD的解析式為，則，所以，因?yàn)椤?i>P₁O₁D₁是由△POD 沿x軸向左平移m個(gè)單位得到的，

所以P₁（2－m，0），D₁(2－m， －3)，E（2－m，）．··········································· 11分

設(shè)直線OM的解析式為，則，所以．

①當(dāng)時(shí)，作FH⊥軸于點(diǎn)H，由題意O₁(－m，0)，又O₁D₁∥OD，所以直線O₁D₁的解析式為．

聯(lián)立方程組，解得，

所以，所以FH=，

S_{四邊形OFD1E}=S_□OO1D1D-S_△OO1F-S_△DD1E

=

==．········································································· 13分

②如圖3，當(dāng)時(shí)，設(shè)D₁P₁交OM于點(diǎn)F，直線OM的解析式為，所以，所以，

∴S_△OEF===

綜上所述，．