Question

【題目】已知拋物線，通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)，無(wú)論b取何值，拋物線總會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)；

（1）直接寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)________ ，_________；

（2）若將此拋物線向右平移單位，再向上平移(b>0）個(gè)單位，平移后的拋物線頂點(diǎn)都在某個(gè)函數(shù)的圖象上，求這個(gè)新函數(shù)的解析式（不必寫自變量取值范圍）；

（3）若拋物線與直線y=x–3有兩個(gè)交點(diǎn)A與B，且，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（0，-3），（-1，0）；（2）；（3）或

【解析】

（1）y＝bx2＋（b3）x3＝b（x2＋x）3x3，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，則x2＋x＝0，即可求解；

（2）原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），平移后為（，），即可求解；

（3）根據(jù)題意分b＞0和b＜0，根據(jù)AB的長(zhǎng)分別求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入求出相應(yīng)b的取值即可求解．

解：（1）y＝bx2＋（b3）x3＝b（x2＋x）3x3，

函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，則x2＋x＝0，

解得x＝0或x=1，

∴拋物線總會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)（0，3）、（1，0），

故答案為（0，3）、（1，0）；

（2）原拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，

縱坐標(biāo)為：，

即（，），

平移后新拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，即（，）

∴

∴

即為平移后的拋物線頂點(diǎn)所在的函數(shù)解析式為：；

（3）由與直線y=x–3交于點(diǎn)A（0，-3）

當(dāng)b>0時(shí)，如圖當(dāng)AB=時(shí)，

過(guò)點(diǎn)A作AM∥x軸，BM∥y軸交于點(diǎn)M

∵AM⊥BM，∠BAM=45°，AB=

∴MA=MB=ABsin45°=1，

∴B(1，-2)

把B(1，-2)代入y=bx2+(b–3)x–3

得b=2．

AB=時(shí)，作BM⊥x軸交于點(diǎn)M

同理得AM=BM=4

∴B（4，1）

把B(4，1)代入y=bx2+(b–3)x–3 得b=，

．

當(dāng)時(shí)，，同理可得，

代入，x無(wú)解；

當(dāng)，同理可得B（-4，-7）

代入解得

∴，

綜上，b的取值為或．