【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2ax+cx軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C0,3),tan∠OAC=

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn),過(guò)H作直線HN⊥x軸于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,求線段PH的最大值;

3)點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn),連接CM,以CM為邊作正方形CMEF,是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對(duì)稱(chēng)軸上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=﹣x2x+3;(2);(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(﹣4,0),(,),(,)或(20).

【解析】

試題(1)由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及tan∠OAC=可得出點(diǎn)A的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,由點(diǎn)A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式,設(shè)Nx,0)(﹣4x0),可找出H、P的坐標(biāo),由此即可得出PH關(guān)于x的解析式,利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題;(3)過(guò)點(diǎn)MMK⊥y軸于點(diǎn)K,交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G,根據(jù)角的計(jì)算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEGAAS),進(jìn)而得出MG=CK.設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)G、K的坐標(biāo),由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程,解方程即可求出x值,將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

試題解析:(1∵C0,3),

∴OC=3,

∵tan∠OAC=

∴OA=4,

∴A﹣40).

A﹣4,0)、C0,3)代入y=ax2+2ax+c中,

,解得:

拋物線的解析式為y=﹣x2x+3

2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

A﹣40)、C0,3)代入y=kx+b中,

得:,解得:,

直線AC的解析式為y=x+3

設(shè)Nx,0)(﹣4x0),則Hxx+3),Px,x2x+3),

∴PH=﹣x2x+3﹣x+3=﹣x2x=﹣x﹣22+

∵﹣0,

∴PH有最大值,

當(dāng)x=2時(shí),PH取最大值,最大值為

3)過(guò)點(diǎn)MMK⊥y軸于點(diǎn)K,交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G,則∠MGE=∠MKC=90°,

∴∠MEG+∠EMG=90°

四邊形CMEF是正方形,

∴EM=MC,∠MEC=90°

∴∠EMG+∠CMK=90°,

∴∠MEG=∠CMK

△MCK△MEG中,

∴△MCK≌△MEGAAS),

∴MG=CK

由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1,設(shè)Mx,x2x+3),則G﹣1x2x+3),K0,x2x+3),

∴MG=|x+1|,CK=|﹣x2x+3﹣3|=|﹣x2x|=|x2+x|,

∴|x+1|=|x2+x|,

x2+x=±x+1),

解得:x1=﹣4,x2=﹣,x3=﹣,x4=2,

代入拋物線解析式得:y1=0y2=,y3=,y4=0

點(diǎn)M的坐標(biāo)是(﹣4,0),(,),(,)或(20).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=3,BC=4,CD=1.以AD為腰作等腰ADE,使ADE=90°,過(guò)點(diǎn)E作EFDC交直線CD于點(diǎn)F.請(qǐng)畫(huà)出圖形,并直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】材料閱讀:

如圖,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個(gè)三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).

解決問(wèn)題:

(1)圖中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn),并說(shuō)明理由;

(2)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上,試在圖中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)(無(wú)需寫(xiě)解答過(guò)程);

(3)如圖所示的矩形ABCD,將矩形ABCD沿CM折疊后,點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處,若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),試探究點(diǎn)E的位置.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(本題滿分10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(1,0)、(3,1)、(3,3),雙曲線y=k≠0x0)過(guò)點(diǎn)D

1)求此雙曲線的解析式;

2)作直線ACy軸于點(diǎn)E,連結(jié)DE,求 CDE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點(diǎn)EF,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】1)讀讀做做:教材中有這樣的問(wèn)題,觀察下面的式子,探索它們的規(guī)律,=1-=,=……用正整數(shù)n表示這個(gè)規(guī)律是______;

2)問(wèn)題解決:一容器裝有1L水,按照如下要求把水倒出:第一次倒出L水,第二次倒出的水量是L水的,第三次倒出的水量是L水的,第四次倒出的水量是L水的,……,第n+1次倒出的水量是L水的,……,按照這種倒水方式,這1L水能否倒完?

3)拓展探究:①解方程:+++=;

②化簡(jiǎn):++…+

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某電腦經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批電腦機(jī)箱和液晶顯示器,若購(gòu)電腦機(jī)箱10臺(tái)和液液晶顯示器8臺(tái),共需要資金7000元;若購(gòu)進(jìn)電腦機(jī)箱2臺(tái)和液示器5臺(tái),共需要資金4120元.

1)每臺(tái)電腦機(jī)箱、液晶顯示器的進(jìn)價(jià)各是多少元?

2)該經(jīng)銷(xiāo)商購(gòu)進(jìn)這兩種商品共50臺(tái),而可用于購(gòu)買(mǎi)這兩種商品的資金不超過(guò)22240元.根據(jù)市場(chǎng)行情,銷(xiāo)售電腦機(jī)箱、液晶顯示器一臺(tái)分別可獲利10元和160元.該經(jīng)銷(xiāo)商希望銷(xiāo)售完這兩種商品,所獲利潤(rùn)不少于4100元.試問(wèn):該經(jīng)銷(xiāo)商有哪幾種進(jìn)貨方案?哪種方案獲利最大?最大利潤(rùn)是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,∠C=∠CBD=90°,DE⊥AB于點(diǎn)E.

(1)求證:△DBE∽△BAC.

(2)若BC=3,DB=2,CA=1,求DE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:三角形ABC,A=90°,AB=AC,DBC的中點(diǎn).

(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),BE=AF,求證:DEF為等腰直角三角形.

(2)E、F分別為AB,CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),仍有BE=AF,其他條件不變,那么,DEF是否仍為等腰直角三角形?畫(huà)出圖形,寫(xiě)出結(jié)論不證明.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案