Question

【題目】（1）問題發(fā)現：如圖（1）．在和中，繞點逆時針旋轉．為邊的中點，當點與點重合時．與的位置關系為 ，與的數量關系為 ．

（2）問題證明：在繞點逆時針旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請僅就圖2的情形給出證明，若不成立，請說明理山，

（3）拓展應用：在繞點逆時針旋轉旋轉的過程中，當時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見解析；（3）或

【解析】

（1）如圖1，延長BH交AC于點G，根據直角三角形斜邊上的中線的性質及已知條件可得∠BDC=∠ABG=60°，進而得到∠A+∠ABG=90°，即可得到BH⊥AE，根據銳角三角函數的定義以及直角三角形斜邊上的中線的性質即可得到；

（2）延長至點，使，根據“SAS”證明△DBE≌△PBE，得到，進而證明，根據30°直角三角形的性質，從而得到，再證明，得到，根據中位線定理得到，即可得到，；

（3）分兩種情況討論，①①如圖3-1中，當DE在BC的下方時，延長AB交DE于點F，根據邊角關系以及勾股定理求出AE2，再根據，即可解答；②如圖3-2中，當DE在BC的上方時，同法可得AF，EF的長度，求出求出AE2，再根據，即可解答．

解：（1）如圖1，延長BH交AC于點G，

∵點H是Rt△BDC中CD的中點，

∴BH=DH，

∵，

∴∠BDC=∠ABG=60°，

∴∠A+∠ABG=90°，

∴∠AGB=90°，即BH⊥AE，

∵在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，

∴AE=2BC=6，

在Rt△BDE中，∠DEB=30°，

∴CD=，

∵點H為CD的中點，

∴BH=，

∴，

∴

故答案為：

（2）成立

證明如下：延長至點，使，

連接分別交于點，如圖2所示.

在△DBE與△PBE中，

,

又，

在中，，

,

,

,

為的中點，

為中點，

,

,

，

.

又,

.

∴（1）中的結論仍然成立，

（3）①如圖3-1中，當DE在BC的下方時，延長AB交DE于點F，

∵DE∥BC，

∴∠ABC=∠BFD=90°，

由題意可知，BC=BE=3，AB=3，BD=，DE=2，

∴BF=，

EF=，

∴AF=3+，

∴AE2=，

∵，

∴，

∴，

②如圖3-2中，當DE在BC的上方時，同法可得AF=，EF= ，

∴AE2=，

∴

綜上所述，BH2為或．