Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，AB＝12．以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結GD．

(1)求證：DF是⊙O的切線；

(2)求FG的長；

(3)求△FDG的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

(1) 如圖所示，連接OD．由題意可知∠A=∠B=∠C=60°,則OD=OB,可以證明△OBD為等邊三角形,易得∠C=∠ODB=60°,再運用平行線的性質和判定以及等量代換即可完成解答.

(2)先說明OD為△ABC的中位線，得到BD=CD=6.在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得CF=CD,則AF=AC-CF=9,最后在Rt△AFG中，根據(jù)正弦的定義即可解答；

（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3,FH=，DH=,最后根據(jù)三角形的面積公式解答即可．

解：（1）如圖所示，連接OD.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

∵OD=OB

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠C=∠ODB=60°，

∴AC∥OD，

∴∠CFD=∠FDO，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD=∠FDO=90°，

∴DF是⊙O的切線

（2）因為點O是AB的中點，則OD是△ABC的中位線．

∵△ABC是等邊三角形，AB=12，

∴AB= AC= BC= 12， CD=BD=BC=6

∵∠C=60°，∠CFD=90°，

∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°，

∴CF=CD=3

∴AF=12-3=9．

∴．

（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3

∴FH=，DH=

∴△FDG的面積為DHFG=