【題目】將一副三角尺如圖拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的長直角邊與含45°角的三角尺(△ACD)的斜邊恰好重合.已知AB= ,P是AC上的一個動點.
(1)當點P運動到∠ABC的平分線上時,連接DP,求DP的長;
(2)當點P在運動過程中出現(xiàn)PD=BC時,求此時∠PDA的度數(shù);
(3)當點P運動到什么位置時,以D,P,B,Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上?求出此時DPBQ的面積.

【答案】
(1)解:在Rt△ABC中,AB=2 ,∠BAC=30°,

∴BC= ,AC=3.

如圖(1),作DF⊥AC.

∵Rt△ACD中,AD=CD,

∴DF=AF=CF=

∵BP平分∠ABC,

∴∠PBC=30°,

∴CP=BCtan30°=1,

∴PF= ,

∴DP= =


(2)解:當P點位置如圖(2)所示時,

根據(jù)(1)中結論,DF= ,∠ADF=45°,

又∵PD=BC= ,

∴cos∠PDF= = ,

∴∠PDF=30°.

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°.

當P點位置如圖(3)所示時,

同(2)可得∠PDF=30°.

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°.

故∠PDA的度數(shù)為15°或75°;


(3)解:當點P運動到邊AC中點(如圖4),即CP= 時,

以D,P,B,Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上.

∵四邊形DPBQ為平行四邊形,

∴BC∥DP,

∵∠ACB=90°,

∴∠DPC=90°,即DP⊥AC.

而在Rt△ABC中,AB=2 ,BC= ,

∴根據(jù)勾股定理得:AC=3,

∵△DAC為等腰直角三角形,

∴DP=CP= AC= ,

∵BC∥DP,

∴PC是平行四邊形DPBQ的高,

∴S平行四邊形DPBQ=DPCP=


【解析】(1)作DF⊥AC,由AB的長求得BC、AC的長.在等腰Rt△DAC中,DF=FA=FC;在Rt△BCP中,求得PC的長.則由勾股定理即可求得DP的長.(2)由(1)得BC與DF的關系,則DP與DF的關系也已知,先求得∠PDF的度數(shù),則∠PDA的度數(shù)也可求出,需注意有兩種情況.(3)由于四邊形DPBQ為平行四邊形,則BC∥DF,P為AC中點,作出平行四邊形,求得面積.

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(2)求正方形邊長及頂點C的坐標;

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(4)如果點P、Q保持原速度速度不變,當點P沿A→B→C→D勻速運動時,OP與PQ能否相等,若能,寫出所有符合條件的t的值;若不能,請說明理由.

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