【題目】平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCO是菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣3,4),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接OB,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)C、O、A三點(diǎn).
(1)直接寫(xiě)出這條拋物線的解析式;
(2)如圖1,對(duì)于所求拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)E,設(shè)△EBO的面積為S1,菱形ABCO的面積為S2,當(dāng)S1≤S2時(shí),求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)n的取值范圍;
(3)如圖2,D(0,﹣)為y軸上一點(diǎn),連接AD,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以個(gè)單位/秒的速度沿OB方向運(yùn)動(dòng),1秒后,動(dòng)點(diǎn)Q從O出發(fā),以2個(gè)單位/秒的速度沿折線O﹣A﹣B方向運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t≤6),是否存在實(shí)數(shù)t,使得以P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△ADO相似?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)0≤n≤10且n≠5;(3)t的值為2或.
【解析】
(1)求得菱形的邊長(zhǎng),則A的坐標(biāo)可以求得,然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(2)首先求得菱形的面積,即可求得S1的范圍,當(dāng)S1取得最大值時(shí)即可求得直線的解析式,則n的值的范圍即可求得;
(3)分當(dāng)1<t<3.5時(shí)和3.5≤t≤6時(shí)兩種情況進(jìn)行討論,依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,即可列方程求解.
解:(1)∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,4),四邊形ABCD是菱形,
∴OA=OC==5,A點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),
根據(jù)題意,將C、O、A三點(diǎn)代入y=ax2+bx+c中得:
,
解得:,
則拋物線的解析式是:;
(2)設(shè)BC與y軸相交于點(diǎn)G,則S2=OGBC=20,
∴S1≤5,
由C點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,4)和CB=5可得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),
所以OB所在直線的解析式是y=2x,OB=,
∴當(dāng)S1=5時(shí),△EBO的OB邊上的高是.
如圖1,設(shè)平行于OB的直線為y=2x+b,則它與y軸的交點(diǎn)為M(0,b),與拋物線對(duì)稱軸x=交于點(diǎn)E(,n).
過(guò)點(diǎn)O作ON⊥ME,點(diǎn)N為垂足,若ON=,
∵ME//OB,
∴△MNO∽△OGB,得OM=5,
∴y=2x﹣5,
將代入y=2x﹣5中,解得:y=0,
即E的坐標(biāo)是(,0).
∵與OB平行且到OB的距離是的直線有兩條.
∴由對(duì)稱性可得另一條直線的解析式是:y=2x+5.
則E′的坐標(biāo)是(,10).
由題意得得,n的取值范圍是:0≤n≤10且n≠5.
(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q按題意運(yùn)動(dòng)時(shí),
當(dāng)1<t<3.5時(shí),
OP=t,BP=2﹣t,OQ=2(t﹣1),
連接QP,當(dāng)QP⊥OP時(shí),有=sin∠BOQ=sin∠OBC=,
∴PQ=(t﹣1),
若=,則有=,
又∵∠QPB=∠DOA=90°,
∴△BPQ∽△AOD,
此時(shí),PB=2PQ,即2﹣t=(t﹣1),
10﹣t=8(t﹣1),
∴t=2;
當(dāng)3.5≤t≤6時(shí),QB=10﹣2(t﹣1)=12﹣2t,如圖連接QP.
如圖3,若QP⊥BP,
則有∠PBQ=∠ODA,
又∵∠QPB=∠AOD=90°,
∴△BPQ∽△DOA,
此時(shí),QB=PB,即12﹣2t=(2﹣t),12﹣2t=10﹣t,
∴t=2(不合題意,舍去).
如圖4,若QP⊥BQ,則△BPQ∽△DAO,
此時(shí),PB=BQ,
即2﹣t=(12﹣2t),2﹣t=12﹣2t,
解得:t=.
則t的值為2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)用學(xué)過(guò)的方法研究一類新函數(shù)(為常數(shù),)的圖象和性質(zhì).
(1)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象;
(2)對(duì)于函數(shù),當(dāng)自變量的值增大時(shí),函數(shù)值怎樣變化?
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【題目】為增強(qiáng)中學(xué)生體質(zhì),籃球運(yùn)球已列為銅陵市體育中考選考項(xiàng)目,某校學(xué)生不僅練習(xí)運(yùn)球,還練習(xí)了投籃,下表是一名同學(xué)在罰球線上投籃的試驗(yàn)結(jié)果,根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答問(wèn)題.
投籃次數(shù)(n) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 |
投中次數(shù)(m) | 28 | 60 | 78 | 104 | 124 | 153 | 252 |
(1)估計(jì)這名同學(xué)投籃一次,投中的概率約是多少?(精確到0.1)
(2)根據(jù)此概率,估計(jì)這名同學(xué)投籃622次,投中的次數(shù)約是多少?
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【題目】如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一棵古樹(shù)BH和教學(xué)樓的高,先在點(diǎn)處用高1.5米的測(cè)角儀測(cè)得古樹(shù)頂端點(diǎn)的仰角為,此時(shí)教學(xué)樓頂端點(diǎn)恰好在視線上,再向前走7米到達(dá)點(diǎn)處,又測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)的仰角為,點(diǎn)、、點(diǎn)在同一水平線上.
(1)計(jì)算古樹(shù)的高度;
(2)計(jì)算教學(xué)樓的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,).
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【題目】某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)的手機(jī),已知每部A型號(hào)手機(jī)的進(jìn)價(jià)比每部B型號(hào)手機(jī)進(jìn)價(jià)多500元,若商場(chǎng)用50000元共購(gòu)進(jìn)A型號(hào)手機(jī)10部,B型號(hào)手機(jī)20部,求A、B兩種型號(hào)的手機(jī)每部進(jìn)價(jià)各是多少元?
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【題目】采用東陽(yáng)南棗通過(guò)古法熬制而成的蜜棗是我們東陽(yáng)的土特產(chǎn)之一,已知蜜棗每袋成本10元.試銷后發(fā)現(xiàn)每袋的銷售價(jià)(元)與日銷售量(袋)之間的關(guān)系如下表:
(元) | 15 | 20 | 30 | … |
(袋) | 25 | 20 | 10 | … |
若日銷售量是銷售價(jià)的一次函數(shù),試求:
(1)日銷售量(袋)與銷售價(jià)(元)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)要使這種蜜棗每日銷售的利潤(rùn)最大,每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?每日銷售的最大利潤(rùn)是多少元?
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【題目】某商場(chǎng)銷售一批襯衫,每件成本為50元,如果按每件60元出售,可銷售800件;如果每件提價(jià)5元出售,其銷售量就減少100件,如果商場(chǎng)銷售這批襯衫要獲利潤(rùn)12000元,又使顧客獲得更多的優(yōu)惠,那么這種襯衫售價(jià)應(yīng)定為多少元?
(1)設(shè)提價(jià)了元,則這種襯衫的售價(jià)為___________元,銷售量為____________件.
(2)列方程完成本題的解答.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,⊙O過(guò)AC的中點(diǎn)D,DE切⊙O于點(diǎn)D,交BC于E.
(1)求證DE⊥BC;
(2)若⊙O的半徑為5,BE=2,求DE的長(zhǎng)度.
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