Question

【題目】（問(wèn)題背景）

在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，AD=nAB，現(xiàn)將一塊含60°的直角三角板（如圖）放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，其60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB、AD于點(diǎn)E、F（不包括線段的端點(diǎn)）．

（發(fā)現(xiàn)）

如圖1，當(dāng)n=1時(shí)，易證得AE+AF=AC；

（類比）

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，

（1）當(dāng)n=2時(shí)，求證：AE=2FH；

（2）當(dāng)n=3時(shí)，試探究AE+3AF與AC之間的等量關(guān)系式；

（延伸）

將60°角的頂點(diǎn)移動(dòng)到平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的任意點(diǎn)Q，其余條件均不變，試探究：AE、AF、AQ之間的等量關(guān)系式（請(qǐng)直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

【答案】【發(fā)現(xiàn)】：見(jiàn)解析；【類比】：（1）見(jiàn)解析；（2）；【延伸】.

【解析】

發(fā)現(xiàn)：先證明是等邊三角形，再證明≌（ASA），可得，根據(jù)線段的和可得結(jié)論；

類比：（1）如圖2，設(shè)由題意得： 根據(jù)勾股定理的逆定理得：則證明∽，列比例式根據(jù)，可得

（2）如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先證明∽，得根據(jù)面積法 得所以設(shè)則分別求的長(zhǎng)，代入計(jì)算 的值即可；

延伸:如圖4，作輔助線，構(gòu)建新的則同理根據(jù)面積法得： 設(shè)則分別求 及AQ和的長(zhǎng)，相比可得結(jié)論．

如圖1，

當(dāng)n=1時(shí)，AD=AB，

∴ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∴△ABC、△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

∵ ，

∴△BCE≌△ACF（ASA），

∴BE=AF，

∴

【類比】

：（1）如圖2，

當(dāng)n=2時(shí)，

設(shè)，由題意得：

∴

∴

∵

由勾股定理得：

∴

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

（2）如圖3，當(dāng)n=3時(shí)，

過(guò)C作CN⊥AD于N，過(guò)C作CM⊥AB于M，交AD于H，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

設(shè) 則

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

【延伸】

如圖4，

過(guò)Q作QG∥AD，作QH∥AB，則四邊形AGQH是平行四邊形，且AH=nAG，

過(guò)C作CN⊥AD于N，過(guò)C作CM⊥AB于M，交AD于P，

同理可得：

∴

∵

∴

∴

∵

設(shè) 則

∵

∴

∴

∴

∴

∴