【題目】如圖,在四邊形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果點P由B點出發(fā)沿BC方向向點C勻速運(yùn)動,同時點Q由A點出發(fā)沿AB方向向點B勻速運(yùn)動,它們的速度均為1cm/s,當(dāng)P點到達(dá)C點時,兩點同時停止運(yùn)動,連接PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t s,解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,P,Q兩點同時停止運(yùn)動;
(2)設(shè)△PQB的面積為S,當(dāng)t為何值時,S取得最大值,并求出最大值;
(3)當(dāng)△PQB為等腰三角形時,求t的值.
【答案】(1)t=5秒;(2)當(dāng)t=4時,S的最大值是;(3)t=秒或t=4秒或t=秒.
【解析】
(1)∵當(dāng)P點到達(dá)C點時,兩點同時停止運(yùn)動,∴求出BC長是關(guān)鍵,再除以1即得t值,作CE⊥AB于E,利用勾股定理求出BC的長,再除以速度即可;
(2)由已知條件,把△PQB的邊QB用含t的代數(shù)式表示出來,作PF⊥QB于F,△PQB的高PF可由相似三角形對應(yīng)線段成比例,也用含t的代數(shù)式表示出來,代入三角形的面積公式可得到一個二次函數(shù),即可求出S的最大值;
(3)通過作輔助線構(gòu)造直角三角形,由勾股定理用含t的代數(shù)式把△PQB三邊表示出來,根據(jù)線段相等列出含t的方程式求解,即可求得結(jié)論.
解:(1)先求BC長,作CE⊥AB于E,
∵DC∥AB,DA⊥AB,∴四邊形AECD是矩形,
∴AE=DC=5,CE=AD=4,
∴BE=8-5=3,∴BC==5,
∵P到C時,P、Q同時停止運(yùn)動,
∴t=5÷1=5(秒),即t=5秒時,P,Q兩點同時停止運(yùn)動;
(2)由題意知,AQ=BP=t,∴QB=8﹣t,
作PF⊥QB于F,CE⊥AB于E,PF∥CE,
則△BPF~△BCE,∴
代入數(shù)值:,∴PF=,
∴S=QBPF=×(8﹣t)==﹣(t﹣4)2+(0<t≤5),
∵﹣<0,
∴S有最大值,當(dāng)t=4時,S的最大值是;
(3)作PF⊥QB于F,CE⊥AB于E,
∵cos∠B==,同時cos∠B=,即=,
∴BF=t,∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8-t-t=8﹣,
利用勾股定理:QP===,
又∵PB=t,QB=8-t
若△PQB為等腰三角形,則討論三種情況:①PQ=PB;②PQ=BQ;③QB=BP.
建立含t的方程:①當(dāng)PQ=PB時,即t=,
化簡得:11-128t+320=0,解得t1=8,8>5,不合題意舍去,
∴PQ=PB時t=;
②當(dāng)PQ=BQ時,即=8﹣t,化簡得:,
解得:t1=0(舍去),t2=,∴PQ=BQ時t=;
③當(dāng)QB=BP,即8﹣t=t,解得:t=4.
綜上所述:當(dāng)t=秒或t=4秒或t=秒時,△PQB為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD>AB,連接AC,將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE,平移線段AE得到線段DF(點A與點D對應(yīng),點E與點F對應(yīng)),連接BF,分別交直線AD,AC于點G,M,連接EF.
(1) 依題意補(bǔ)全圖形;
(2) 求證:EG⊥AD;
(3) 連接EC,交BF于點N,若AB=2,BC=4,設(shè)MB=a,NF=b,試比較與之間的大小關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動課上,老師和學(xué)生一起去測量學(xué)校升旗臺上旗桿AB的高度,如圖,老師測得升旗臺前斜坡FC的坡比為iFC=1:10(即EF:CE=1:10),學(xué)生小明站在離升旗臺水平距離為35m(即CE=35m)處的C點,測得旗桿頂端B的仰角為α,已知tanα=,升旗臺高AF=1m,小明身高CD=1.6m,請幫小明計算出旗桿AB的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,DE∥AC,AE∥BD.
(1)求證:四邊形AODE是矩形;
(2)若AB=2,∠BCD=120°,求四邊形AODE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】初中學(xué)生對待學(xué)習(xí)的態(tài)度一直是教育工作者極為關(guān)注的一個問題.為此某市教育局對本市部分學(xué)校的八年級學(xué)生對待學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(把學(xué)習(xí)態(tài)度分為三個層級,A級:喜歡;B級:不太喜歡;C級:不喜歡),并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計圖(如圖).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了_____名學(xué)生;
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)求出扇形統(tǒng)計圖中級所占的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計該市近名初中生中大約有多少名學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度達(dá)標(biāo).(達(dá)標(biāo)包括級和級)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班男生分成甲、乙兩組進(jìn)行引體向上的專項訓(xùn)練,已知甲組有名男生,并對兩組男生訓(xùn)練前、后引體向上的個數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析,得到乙組男生訓(xùn)練前、后引體向上的平均個數(shù)分別是個和個,及下面不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
甲組男生訓(xùn)練前、后引體向上個數(shù)統(tǒng)計表(單位:個)
甲組 | 男生 | 男生 | 男生 | 男生 | 男生 | 男生 | 平均個數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) |
訓(xùn)練前 | |||||||||
訓(xùn)練后 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1) , , ;
(2)甲組訓(xùn)練后引體向上的平均個數(shù)比訓(xùn)練前增長了 ;
(3)你認(rèn)為哪組訓(xùn)練效果好?并提供一個支持你觀點的理由;
(4)小華說他發(fā)現(xiàn)了一個錯誤:“乙組訓(xùn)練后引體向上個數(shù)不變的人數(shù)占該組人數(shù)的,所以乙組的平均個數(shù)不可能提高個這么多.”你同意他的觀點嗎?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是直線上的兩點,直線l1、l2的初始位置與直線重合將l1繞點順時針以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn),將l2繞點B逆時針以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn),且兩條直線從重合位置同時開始旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒(是正整數(shù)).當(dāng)時,設(shè)的交點為;當(dāng)時,設(shè)的交點為;當(dāng)時設(shè)的交點為……那么當(dāng)時, 相交所得的鈍角是__________.當(dāng)落在上方時, 的最小值是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=x2﹣x﹣3,與x軸交于A和B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,過點A的直線與拋物線在第一象限的交點M的橫坐標(biāo)為,直線AM與y軸交于點D,連接BC、AC.
(1)求直線AD和BC的解折式;
(2)如圖2,E為直線BC下方的拋物線上一點,當(dāng)△BCE的面積最大時,一線段FG=4(點F在G的左側(cè))在直線AM上移動,順次連接B、E、F、G四點構(gòu)成四邊形BEFG,請求出當(dāng)四邊形BEFG的周長最小時點F的坐標(biāo);
(3)如圖3,將△DAC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的三角形為△DA′C′,若直線A′C′分別與直線BC、y軸交于M、N,當(dāng)△CMN是等腰三角形時,請直接寫出CM的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度,在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.
(1)直接寫出關(guān)于原點的中心對稱圖形各頂點坐標(biāo):________________________;
(2)將繞B點逆時針旋轉(zhuǎn),畫出旋轉(zhuǎn)后圖形.求在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形的面積和點經(jīng)過的路徑長.
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