Question

【題目】如圖1，我們知道，若點(diǎn)將線段分成兩部分，且，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．類似的，我們把有一個(gè)內(nèi)角等于的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，過點(diǎn)作直線分別交直線和于點(diǎn)、，連接，．

(1)求的度數(shù)，并證明是黃金三角形；

(2)求證：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)；

(3)對于實(shí)數(shù)：，如果滿足，則稱為，的黃金數(shù)，為，的白銀數(shù)．

①實(shí)數(shù)，且為，1的黃金數(shù)，為，1的白銀數(shù)，求的值．

②實(shí)數(shù)，，，分別為，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，求的值．

Answer 1

【答案】（1），是黃金三角形證明見解析；（2）證明見解析；（3）①；②或

【解析】

（1）由題意，根據(jù)同圓半徑相等和三角形內(nèi)角和，可求的度數(shù)，再由黃金三角形定義可證明是黃金三角形；

（2）由（1）條件證明，再由黃金分割定義問題可證明；

（3）①根據(jù)黃金數(shù)和白銀數(shù)的定義，分別求出對應(yīng)的a、b的值，則問題可解；

②根據(jù)k的正負(fù)取值，根據(jù)定義分別用k表示m、n，再求出比值即可.

（1）是⊙的直徑，，

，則，

設(shè)，則，

又

．

則

又

是黃金三角形．

（2）由（1）得，

，

又

點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．

（3）①為的黃金數(shù)，且實(shí)數(shù)

（舍），

為的白銀數(shù)，且實(shí)數(shù)

（舍）

②分別為的黃金數(shù)和白銀數(shù)，實(shí)數(shù)

分兩種情況：i）當(dāng)時(shí)，

由①得：

由②得：

ii）當(dāng)時(shí)，，由①得：

由②得：

綜上， 的值是或