Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，延長AB到點C，使BC=AB，D是⊙O上一點，DC= ．求證：
（1）△CDB∽△CAD；
（2）CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=6，BC=AB，DC= ，

∴AC=12，BC=6．

∴ ．

∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD

（2）證明：（證法一）：連接OD，則有OD=3，

∵OC=9，DC= ，

∵DC2+OD2=（6 ）2+32=81=92

∴DC2+OD2=OC2

∴∠ODC=90°，

∴CD⊥OD．

又∵OD是半徑，

∴CD是⊙O的切線．

（證法二）：連接OD，則有OD=OA，

∴∠A=∠ADO．

∵△CDB∽△CAD，

∴∠CDB=∠A．

∴∠CDB=∠ADO．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

即∠ADO+∠ODB=90°．

∴∠CDB+∠ODB=90°．

即∠ODC=90°．

∴CD⊥OD．

∵OD是半徑，

∴CD是⊙O的切線．

【解析】（1）根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可；（2）連接OD，求出OD2+CD2=OC2 ， 根據勾股定理的逆定理得出∠ODC=90°，得出結論．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．