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【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AB=6,延長AB到點C,使BC=AB,D是⊙O上一點,DC= .求證:
(1)△CDB∽△CAD;
(2)CD是⊙O的切線.

【答案】
(1)證明:∵AB=6,BC=AB,DC= ,

∴AC=12,BC=6.

∵∠C=∠C,

∴△CDB∽△CAD


(2)證明:(證法一):連接OD,則有OD=3,

∵OC=9,DC= ,

∵DC2+OD2=(6 2+32=81=92

∴DC2+OD2=OC2

∴∠ODC=90°,

∴CD⊥OD.

又∵OD是半徑,

∴CD是⊙O的切線.

(證法二):連接OD,則有OD=OA,

∴∠A=∠ADO.

∵△CDB∽△CAD,

∴∠CDB=∠A.

∴∠CDB=∠ADO.

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°.

即∠ADO+∠ODB=90°.

∴∠CDB+∠ODB=90°.

即∠ODC=90°.

∴CD⊥OD.

∵OD是半徑,

∴CD是⊙O的切線.


【解析】(1)根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可;(2)連接OD,求出OD2+CD2=OC2 , 根據勾股定理的逆定理得出∠ODC=90°,得出結論.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定的相關知識點,需要掌握切線的判定方法:經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的判定方法:兩角對應相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應成比例,兩三角形相似(SSS)才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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C.①②④
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