Question

7．正方形ABCD，正方形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，點(diǎn)P在BC邊上，PA=PF，且∠APF=90°，連接AF交CD于點(diǎn)M．有下列結(jié)論：①EC=BP；②AP=AM：③∠BAP=∠GFP；④AB²+CE²=$\frac{1}{2}$AF²；⑤S_{正方形ABCD}+S_{正方形CGFE}=2S_△APF，其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④⑤
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①由同角的余角相等可證出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出①成立；②沒有滿足證明AP=AM的條件；③根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤結(jié)合④即可得出⑤成立．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠EPF=∠BAP}\\{∠FEP=∠PBA}\\{PA=PF}\end{array}\right.$，
∴△EPF≌△BAP（AAS），
∴EF=BP，
∵四邊形CEFG為正方形，
∴EC=EF=BP，即①成立；
②無法證出AP=AM；
③∵FG∥EC，
∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，
∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB²+BP²=AP²，
∵PA=PF，且∠APF=90°，
∴△APF為等腰直角三角形，
∴AF²=AP²+EP²=2AP²，
∴AB²+BP²=AB²+CE²=AP²=$\frac{1}{2}$AF²，即④成立；
⑤由④可知：AB²+CE²=AP²，
∴S_{正方形ABCD}+S_{正方形CGFE}=2S_△APF，即⑤成立．
故成立的結(jié)論有①③④⑤．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是逐條分析五條結(jié)論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過證明三角形全等以及利用勾股定理等來驗(yàn)證題中各結(jié)論是否成立是關(guān)鍵．