【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C為半圓弧上一點,在AC上取一點D,使BC=CD,連結(jié)BD并延長交⊙O于E,連結(jié)AE,OE交AC于F.
(1)求證:△AED是等腰直角三角形;
(2)如圖1,已知⊙O的半徑為.
①求的長;
②若D為EB中點,求BC的長.
(3)如圖2,若AF:FD=7:3,且BC=4,求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)①;②;(3)
【解析】
(1)由已知可得△BCD是等腰直角三角形,所以∠CBD=∠EAD=45°,因為∠AEB=90°可證△AED是等腰直角三角形;
(2)①已知可得∠EAD=45°,∠EOC=90°,則△EOC是等腰直角三角形,所以CE的弧長=×2×π×=;
②由已知可得ED=BD,在Rt△ABE中,(2)2=AE2+(2AE)2,所以AE=2,AD=2,易證△AED∽△BCD,所以BC=;
(3)由已知可得AF=AD,過點E作EG⊥AD于G,EG=AD,GF=AD,tan∠EFG=,得出FO=r,在Rt△COF中,FC=r,EF=r,在Rr△EFG中,由勾股定理,求出AD=r,AF=r,所以AC=AF+FC=,CD=BC=4,AC=4+AD,可得r=4+r,解出r即可.
解:(1)∵BC=CD,AB是直徑,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠CBD=45°,
∵∠CBD=∠EAD=45°,
∵∠AEB=90°,
∴△AED是等腰直角三角形;
(2)①∵∠EAD=45°,
∴∠EOC=90°,
∴△EOC是等腰直角三角形,
∵⊙O的半徑為,
∴CE的弧長=×2×π×=,
故答案為:;
②∵D為EB中點,
∴ED=BD,
∵AE=ED,
在Rt△ABE中,(2)2=AE2+(2AE)2,
∴AE=2,
∴AD=2,
∵ED=AE,CD=BC,∠AED=∠BCD=90°,
∴△AED∽△BCD,
∴BC=,
故答案為:;
(3)∵AF:FD=7:3,
∴AF=AD,
過點E作EG⊥AD于G,
∴EG=AD,
∴GF=AD,
∴tan∠EFG=,
∴==,
∴FO=r,
在Rt△COF中,FC=r,
∴EF=r,
在Rt△EFG中,(r)2=(AD)2+(AD)2,
∴AD=r,
∴AF=r,
∴AC=AF+FC=r,
∵CD=BC=4,
∴AC=4+AD=4+r,
∴r=4+r,
∴r=,
故答案為:.
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【題目】如圖,在△ABC中,D是AB邊上任意一點,E是BC邊中點,過點C作AB的平行線,交DE的延長線于點F,連接BF,CD.
(1)求證:四邊形CDBF是平行四邊形;
(2)若∠FDB=30°,∠ABC=45°,BC=4,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】江蘇省第十九屆運動會將于2018年9月在揚州舉行開幕式,某校為了了解學生“最喜愛的省運會項目”的情況,隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查,規(guī)定每人從“籃球”、“羽毛球”、“自行車”、“游泳”和“其他”五個選項中必須選擇且只能選擇一個,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.
最喜愛的省運會項目的人數(shù)調(diào)查統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息,請回答下列問題:
(1)這次調(diào)查的樣本容量是 , ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“自行車”對應(yīng)的扇形的圓心角為 度;
(3)若該校有1200名學生,估計該校最喜愛的省運會項目是籃球的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點和頂點構(gòu)成等邊三角形,則稱這樣的二次函數(shù)的圖象為標準拋物線.如圖,自左至右的一組二次函數(shù)的圖象T1,T2,T3……是標準拋物線,且頂點都在直線y=x上,T1與x軸交于點A1(2,0),A2(A2在A1右側(cè)),T2與x軸交于點A2,A3,T3與x軸交于點A3,A4,……,則拋物線Tn的函數(shù)表達式為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,AB=AC,AE 是∠BAC 的平分線,∠ABC 的平分線 BM 交 AE 于點 M,點 O在 AB 上,以點O 為圓心,OB 的長為半徑的圓經(jīng)過點 M,交 BC 于點G,交 AB 于點 F.
(1)求證:AE 為⊙O 的切線.
(2)當 BC=8,AC=12 時,求⊙O 的半徑.
(3)在(2)的條件下,求線段 BG 的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像與軸相交于點A(-1,0),B(4,0),與軸相交于點C.
(1)求該函數(shù)的表達式;
(2)若點P(2,m)為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點,過點P作PQ⊥BC,垂足為點Q,連接PC,求線段PQ的長;
(3)在(2)的條件下,點M為該函數(shù)圖象上一點,且∠MAP=45°,求點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a、b、c為正數(shù),若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根,則關(guān)于x的方程a2x2+b2x+c2=0解的情況為( )
A.有兩個不相等的正根B.有一個正根,一個負根
C.有兩個不相等的負根D.不一定有實數(shù)根
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