【題目】如圖,拋物線yx2+x+4x軸相交于點(diǎn)A、By軸相交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M,P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上).分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線CP的垂線,垂足分別為D、E,連接點(diǎn)MD、ME

1)寫(xiě)出點(diǎn)AB的坐標(biāo),   并證明△MDE是等腰三角形;

2)△MDE能否為等腰直角三角形?若能,求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,說(shuō)明理由;

3)若將P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)PM、C不在同一條直線上)改為P是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),其他條件不變,△MDE能否為等腰直角三角形?若能求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果);若不能,說(shuō)明理由.

【答案】1) A(﹣5,0),B(﹣1,0);證明見(jiàn)解析;(2)能;(3)(﹣).

【解析】

1)在拋物線解析式中,令y0,解一元二次方程,可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);如圖1所示,延長(zhǎng)EMAD于點(diǎn)F,證明△AMF≌△BME,得到點(diǎn)M為為RtEDF斜邊EF的中點(diǎn),從而得到MDME,問(wèn)題得證;

2)首先分析,若△MDE為等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M.如答圖2所示,設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N,首先證明△ADM≌△NEM,得到MNAM,從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為(﹣3,﹣2);其次利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo),求出直線PC的解析式;最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

3)當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),解題思路與(2)完全相同.

解:(1)∵拋物線yx2+x+4x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),

∴令y0,,

解得:x1=﹣5,x2=﹣1

A(﹣5,0),B(﹣1,0).

故答案為:A(﹣5,0),B(﹣10).

如答圖1所示,延長(zhǎng)EMAD交于點(diǎn)F

ADPCBEPC,

ADBE

∴∠MAF=∠MBE

在△AMF與△BME中,

,

∴△AMF≌△BMEASA),

MEMF,即點(diǎn)MRtEDF斜邊EF的中點(diǎn),

MDME,

即△MDE是等腰三角形.

2)答:能.

拋物線解析式為:,

∴對(duì)稱軸是直線x=﹣3M(﹣3,0);

x0,得y4

C0,4).

MDE為等腰直角三角形,有3種可能的情形:

①若DEEM,

DEBE,可知點(diǎn)E、MB在一條直線上,

而點(diǎn)BMx軸上,因此點(diǎn)E必然在x軸上,

DEBE,可知點(diǎn)E只能與點(diǎn)O重合,即直線PCy軸重合,

不符合題意,故此種情況不存在;

②若DEDM,與①同理可知,此種情況不存在;

③若EMDM,如答圖2所示:

設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N,

EMDMMNAM,

∴∠EMN=∠DMA

在△ADM與△NEM中,

∴△ADM≌△NEMASA),

MNMA

M(﹣3,0),MNMA2,

N(﹣3,﹣2).

設(shè)直線PC解析式為ykx+b,

∵點(diǎn)N(﹣3,﹣2),C0,4)在直線上,

,解得k2,b4,

y2x+4

y2x+4代入拋物線解析式得:,

解得:x0

當(dāng)x0時(shí),交點(diǎn)為點(diǎn)C

當(dāng)時(shí),y2x+4=﹣3

P,﹣3).

綜上所述,△MDE能成為等腰直角三角形,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(,3).

3)答:能.

與(2)同理,可知若△MDE為等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M

MDMEMAMN,

∴∠DMN=∠EMB

在△DMN與△EMB中,

,

∴△DMN≌△EMBASA),

MNMB

N(﹣3,2).

設(shè)直線PC解析式為ykx+b

∵點(diǎn)N(﹣3,2),C0,4)在直線上,

,解得k,b=﹣4

yx+4

yx+4代入拋物線解析式得:x+4x2+x+4,

解得:x0x=﹣

當(dāng)x0時(shí),交點(diǎn)為點(diǎn)C;當(dāng)x=﹣時(shí),yx+4

P(﹣).

綜上所述,△MDE能成為等腰直角三角形,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣,).

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