Question

【題目】已知直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點(diǎn)為N．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，求：

①拋物線的解析式；

②點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長；

（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點(diǎn)M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①②N（，－4），（2）存在．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，－1）或（4，3）

【解析】

（1）①由直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點(diǎn)解析式．

②聯(lián)立和，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，過N作NC⊥x軸，由勾股定理求出線段MN的長．

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m或n的方程，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，要分類討論，以防遺漏．

解：（1）①∵直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，

∴A（，0），B（0，－5）．

當(dāng)頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，∴M（，0）．

∴拋物線的解析式是：，即．

②∵N是直線與在拋物線的交點(diǎn)，

∴，解得或．

∴N（，－4）．

如圖，過N作NC⊥x軸，垂足為C．

∵N（，－4），∴C（，0）

∴NC=4．MC=OM－OC=．

∴．

（2）設(shè)M（m，2m-5），N（n，2n-5）．
，

，

則OB=2OA，，

當(dāng)∠MON=90°時，

∵AB≠M(fèi)N，且MN和AB邊上的高相等，因此△OMN與△AOB不能全等，
∴△OMN與△AOB不相似，不滿足題意．
當(dāng)∠OMN=90°時，，即，解得，

則m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，
∴M（2，-1）；

當(dāng)∠ONM=90°時，，即，解得，

則n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，
解得：m=4，
則M的坐標(biāo)是M（4，3）．
故M的坐標(biāo)是：（2，-1）或（4，3）．