【題目】矩形ABCD中,E,F在BC、CD上,以EF為直徑的半圓切AD于G(如圖1).
(1)求證:CE=2DG;
(2)若F為DC中點(diǎn),連AF交半圓于P(如圖2),且AB=4,AD=5,求PF.
【答案】(1)詳見解析;(2)2.
【解析】
(1)連接OG,延長GO交BC于H,由切線的性質(zhì)得出OG⊥AD,證明四邊形CDGH是矩形,得出DG=CH,GH=CD,由平行線得出EH=CH,即可得出結(jié)論;
(2)連接OG,延長GO交BC于H,由勾股定理得出AF3,由(1)得:CE=2DG,EH=CH,GH=CD=AB=4,證明OH是△CEF的中位線,得出OHCF=1,OG=GH﹣OH=3,得出EF=2OG=6,由勾股定理得出CE4,DGCE=2,得出AG=AD﹣DG=3,由切割線定理求出AP,即可得出結(jié)果.
(1)證明:連接OG,延長GO交BC于H,如圖所示:
∵以EF為直徑的半圓切AD于G,
∴OG⊥AD,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AB=CD,AD∥BC,AD⊥CD,
∴GH∥CD,
∴四邊形CDGH是矩形,
∴DG=CH,GH=CD,
∵OE=OF,
∴EH=CH,
∴CE=2DG;
(2)解:連接GP,GF,OG,延長GO交BC于H,如下圖所示:
∵F為DC中點(diǎn),∴DF=CFCD=2,
∴AF3,
由(1)得:CE=2DG,EH=CH,GH=CD=AB=4,
∵OE=OF,
∴OH是△CEF的中位線,
∴OHCF=1,
∴OG=GH﹣OH=3,
∴EF=2OG=6,
∴CE4,
∴DGCE=2,
∴AG=AD﹣DG=3,
∵以EF為直徑的半圓切AD于G,
故由弦切角定理可知:∠AGP=∠PFG,
由∠GAF=∠GAF,
∴△AGP∽△AFG,
∴
∴AG2=AP×AF,
∴AP,
∴PF=AF-AP=32.
故答案為:2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△AOC中,∠OAC=90°,AO=AC,OC=2,將△AOC放置于平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,斜邊OC在x軸上.反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.將△AOC沿x軸向右平移2個單位長度,記平移后三角形的邊與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)為A1,A2.重復(fù)平移操作,依次記交點(diǎn)為A3,A4,A5,A6…分別過點(diǎn)A,A1,A2,A3,A4,A5…作x軸的垂線,垂足依次記為P,P1,P2,P3,P4,P5…若四邊形APP1A1的面積記為S1,四邊形A2P2P3A3的面積記為S2…,則Sn=_____.(用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,長方形ABCD(每個內(nèi)角都是90°)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,m),B(n,0),(m>n>0),點(diǎn)E在AD上,AE=AB,點(diǎn)F在y軸上,OF=OB,BF的延長線與DA的延長線交于點(diǎn)M,EF與AB交于點(diǎn)N.
(1)試求點(diǎn)E的坐標(biāo)(用含m,n的式子表示);
(2)求證:AM=AN;
(3)若AB=CD=12cm,BC=20cm,動點(diǎn)P從B出發(fā),以2cm/s的速度沿BC向C運(yùn)動的同時,動點(diǎn)Q從C出發(fā),以vcm/s的速度沿CD向D運(yùn)動,是否存在這樣的v值,使得△ABP與△PQC全等?若存在,請求出v值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】連接著漢口集家咀的江漢三橋(晴川橋),是一座下承式鋼管混凝土系桿拱橋.它猶如一道美麗的彩虹跨越漢江,是江城武漢的一道靚麗景觀.橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分,橋面(視為水平的)與拱肋用垂直于橋面的系桿連接,相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì)),拱肋的跨度AB為280米,距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長度為42米.以AB所在直線為x軸,拋物線的對稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求拋物線的解析式;
(2)正中間系桿OC的長度是多少米?是否存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:AB為半圓的直徑,AB=4,C為OA中點(diǎn),D為半圓上一點(diǎn),連CD,E為的中點(diǎn),且CD∥BE,則CD的長為( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,如果ɑ,β都為銳角,且tanɑ=,tanβ=,則ɑ+β=___________;
(2)如果ɑ,β都為銳角,當(dāng)tanɑ=5,tanβ=時,在圖2的正方形網(wǎng)格中,利用已作出的銳角ɑ,畫出∠MON,使得∠MON=ɑ-β.此時ɑ-β=__________度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)M在直線AB上,且拋物線與直線AB的另一個交點(diǎn)為N.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時,求:
①拋物線的解析式;
②點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長;
(2)拋物線在直線AB上平移,是否存在點(diǎn)M,使得△OMN與△AOB相似?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在某個斜坡上,看到對面某高樓上方有一塊宜傳“中國國際進(jìn)口博覽會”的豎直標(biāo)語牌.小明在點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為,并且測得斜坡的坡度為(在同一條直線上),已知斜坡長米,高樓高米(即米),則標(biāo)語牌的長是( )米.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)(參考數(shù)據(jù):, , ,)
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為的直徑,弦垂足為E,點(diǎn)H為弧AC上一點(diǎn).連接DH交AB于點(diǎn)F,連接HA、BD,點(diǎn)G為DH上一點(diǎn),連接AG,.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,連接HC,若,求證:;
(3)如圖3,連接交于點(diǎn)K,若點(diǎn)F為DG的中點(diǎn),,求的值.
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