Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0），點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P′．
（1）當(dāng)b=3時(shí)（如圖1），
①求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．
②在x軸上找一點(diǎn)Q（點(diǎn)O除外），使△APQ與△AOB全等，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的所有坐標(biāo)（-9，0）、（-8，0）或（1，0）
（2）若點(diǎn)P在第一象限（如圖2），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，作PC⊥x軸于點(diǎn)C，連結(jié)AP′，CP′．當(dāng)△ACP′是以點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，求出a，b的值．
（3）當(dāng)線段OP′恰好被直線AB垂直平分時(shí)（如圖3），直接寫(xiě)出b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）①由待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式；
②設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），由全等可得出關(guān)于m的一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線AB的解析式，由此可得出P點(diǎn)、C點(diǎn)和P′點(diǎn)的坐標(biāo)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出各邊的關(guān)系，由此得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合（2）直線的解析式和P、P′點(diǎn)的坐標(biāo)，由線段OP′恰好被直線AB垂直平分可得知OP′的斜率與AB斜率互為負(fù)倒數(shù)，且OP′的中點(diǎn)在直線AB上，由此可得出關(guān)于a、b的二元二次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3）
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{3}{4}$x+3．
②∵點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)（點(diǎn)O除外），
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5．
△APQ與△AOB全等有兩種情況：
當(dāng)AQ=AO時(shí)，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=-8，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-8，0）；
當(dāng)AQ=AB時(shí)，即|m+4|=5，
解得：m=-9，或m=1，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-9，0）或（1，0）．
綜上所述：點(diǎn)Q的所有坐標(biāo)為（-9，0），（-8，0）或（1，0）．
故答案為：（-9，0），（-8，0）或（1，0）．
（2）過(guò)P′作PD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b＞0），
∴直線AB的斜率為$\frac{b-0}{0-（-4）}$=$\frac{4}$，
即直線AB的解析式為y=$\frac{4}$x+b．
∵點(diǎn)P在直線AB上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{4}$a+b），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-a，$\frac{4}$a+b），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-a，0），
∴P′D=$\frac{4}$a+b，AC=a+4，AD=4-a．
∵點(diǎn)P為第一象限的點(diǎn)，
∴a＞0．
∵△ACP′是以點(diǎn)P′為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{P′D=\frac{1}{2}AC}\\{P′D=AD}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}a+b=\frac{a+4}{2}}\\{\frac{4}a+b=4-a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（3）由（2）可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{4}$a+b），則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-a，$\frac{4}$a+b），直線AB的解析式為y=$\frac{4}$x+b．
則OP′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{a}{2}$，$\frac{8}a+\frac{2}$），直線OP′的斜率為$\frac{\frac{4}a+b-0}{-a-0}$=-$\frac{4}$-$\frac{a}$．
∵線段OP′恰好被直線AB垂直平分，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}a+\frac{2}=\frac{4}（-\frac{a}{2}）+b}\\{\frac{4}（-\frac{4}-\frac{a}）=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$（舍去）．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)求解析式、一次函數(shù)的斜率、全等三角形的性質(zhì)、兩垂直直線間斜率的關(guān)系以及解二元一次（二次）方程組，解題的關(guān)鍵：（1）①待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②由全等三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次方程；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)找出關(guān)于a、b的二元一次方程；（3）利用垂直平分線的性質(zhì)得出關(guān)于a、b的二元二次方程組．本題屬于難題，（1）難度不是很大；（2）借助邊的關(guān)系簡(jiǎn)化了方程組，若用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股定理列出方程組很復(fù)雜，故做此類(lèi)題目時(shí)，能簡(jiǎn)化方程一定要簡(jiǎn)化；（3）“兩條直線垂直，斜率乘積為-1（有斜率的情況下）”雖說(shuō)為高中知識(shí)，但在初中做題中一直在運(yùn)用，利用這個(gè)結(jié)論能帶來(lái)很大的方便，因此在日常教學(xué)中老師們都拿此結(jié)論當(dāng)性質(zhì)定理來(lái)用．