Question

6．如圖，直線y₁=x+2與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$交于A（m，4），B（-4，n）．
（1）求k值；
（2）當(dāng)y₁＞y₂時請直接寫出x的取值范圍；
（3）P為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)△ABP為直角三角形時，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入直線y₁=x+2可得m、n的值，將A或B坐標(biāo)代入雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）由A、B坐標(biāo)根據(jù)函數(shù)圖象可得x的取值范圍；
（3）設(shè)P坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)A、B坐標(biāo)分別表示出PA²、PB²、AB²，分∠BAP=90°、∠ABP=90°、∠APB=90°三種情況根據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程，解方程可得a的值，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意可將點(diǎn)A（m，4），B（-4，n）代入直線y₁=x+2，
得：m+2=4，-4+2=n，
解得：m=2，n=-2，
故點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，-2），
將點(diǎn)A（2，4）代入雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$，
可得k=8；
（2）觀察圖象可得，y₁＞y₂時，-4＜x＜0或x＞2；
（3）設(shè)x軸上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，0），
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，-2），
∴PA²=（2-a）²+4²=（a-2）²+16，
PB²=（-4-a）²+（-2）²=（a+4）²+4，
AB²=（-4-2）²+（-2-4）²=72，
①當(dāng)∠BAP=90°時，AB²+AP²=PB²，即（a-2）²+16+72=（a+4）²+4，
解得：a=6，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，0）；
②當(dāng)∠ABP=90°時，AB²+PB²=AP²，即72+（a+4）²+4=（a-2）²+16，
解得：a=-6，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-6，0）；
③當(dāng)∠APB=90°，PA²+PB²=AB²，即（a-2）²+16+（a+4）²+4=72，
解得：a=-1+$\sqrt{17}$或a=-1-$\sqrt{17}$，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{17}$，0）或（-1-$\sqrt{17}$）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（6，0），（-6，0），（-1+$\sqrt{17}$，0），（-1-$\sqrt{17}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，根據(jù)直線與雙曲線相交求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)是解題根本，由△ABP為直角三角形根據(jù)勾股定理分類討論是解題的關(guān)鍵．