Question

6．如圖，△ABO中AB=AO=10，OB=12，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在第一象限，直線y=x與直線AB交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求△OBC的面積；
（3）若點(diǎn)P為直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P使得S_△OBP=${\frac{3}{2}}_{\;}$S_△OBC？若有，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若無(wú)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥OB于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=6，由勾股定理得到AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，于是得到結(jié)論；
（2）過C作CE⊥OB于E，由直線y=x與直線AB交于點(diǎn)C，得到CE=OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，即$\frac{CE}{8}=\frac{12-CE}{6}$，求得CE=$\frac{48}{7}$，根據(jù)三角形的面積即可得到結(jié)論；
（3）由點(diǎn)P為直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（m，m），根據(jù)已知條件列方程$\frac{1}{2}$×12×|m|=$\frac{3}{2}$×$\frac{144}{7}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）作AD⊥OB于D，
∵AB=AO=10，
∴OD=BD=$\frac{1}{2}$OB=6，
AD=$\sqrt{A{O}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
A的坐標(biāo)為A（6，8）；

（2）過C作CE⊥OB于E，
∵直線y=x與直線AB交于點(diǎn)C，
∴CE=OE，
∵AD⊥OB，
∴CE∥AD，
∴△BCE∽△ABD，
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，即$\frac{CE}{8}=\frac{12-CE}{6}$，
∴CE=$\frac{48}{7}$，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•CE=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{48}{7}$=$\frac{288}{7}$；

（3）∵點(diǎn)P為直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)P（m，m），
∵S_△OBP=${\frac{3}{2}}_{\;}$S_△OBC，
∴$\frac{1}{2}$×12×|m|=$\frac{3}{2}$×$\frac{288}{7}$，
∴|m|=$\frac{72}{7}$，
∴m=±$\frac{72}{7}$，
∴P（$\frac{72}{7}$，$\frac{72}{7}$）或P（-$\frac{72}{7}$，-$\frac{72}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及三角形的面積等，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力，用了分類討論思想和方程思想．