【題目】如圖,已知點的坐標是,點的坐標是,以線段為直徑作⊙,交軸的正半軸于點,過、、三點作拋物線.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連結(jié),,點是延長線上一點,的角平分線交⊙于點,連結(jié),在直線上找一點,使得的周長最小,并求出此時點的坐標;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點,使得,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)交點;(3)符合條件的點有兩個:,.
【解析】
(1)因為BC是直徑,所以∠BDC=90°,易證∽,由相似三角形的性質(zhì)得:,解得OD的長,從而求出點D坐標.由,設(shè)交點式解析式,把點D坐標代入即可求出解析式.
(2)屬于最短路徑問題,要使的周長最小,因為CF的長是定值,所以只要滿足PF+PC的值最小即可解答,作點F或者點C關(guān)于直線BD的對稱點,正好CD⊥BD,延長至點,,則可得,連結(jié)交于點,再連結(jié)、,此時的周長最短,求出的解析式為,再與的解析式:聯(lián)立,可得交點.
(3)本題要分兩種情況進行討論:
①過F作FG∥DC,交F點右側(cè)的拋物線于G,此時兩內(nèi)錯角∠GFC=∠DCF,可先用待定系數(shù)法求出直線DC的解析式,然后根據(jù)DC與FG平行,那么直線FG與直線DC的k值相同,因此可根據(jù)F的坐標求出FG的解析式,然后聯(lián)立直線FG的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標,然后將不合題意的值舍去即可得出符合條件的G點.
②解法同①,過D作DM∥FC,交圓于點M,連接FM并延長交拋物線于點G,此時兩弧DF、MC相等,∠GFC=∠DCF.先求FC解析式,根據(jù)DM∥FC和D點坐標,求出DM解析式,從而就出M坐標,根據(jù)點F、M坐標求出直線MF解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求得.
綜上所述可求出符合條件的P點的值.
(1)∵以為直徑作⊙,交軸的正半軸于點,
∴
又∵
∴
又∵
∴∽
∴
又∵,
∴
解得(負值舍去)
∴
故拋物線解析式為
∴,解得
∴二次函數(shù)的解析式為,即.
(2)∵為⊙的直徑,且,
∴,
∵點是延長線上一點,的角平分線交⊙于點
∴
連結(jié),則,
,,可得
∵,
∴延長至點,使,
則可得
連結(jié)交于點,再連結(jié)、,
此時的周長最短,
解得的解析式為
的解析式為,可得交點
(3)符合條件的點有兩個:,.
①如圖過F作FG∥DC,交F點右側(cè)的拋物線于G,此時兩內(nèi)錯角∠GFC=∠DCF,
用待定系數(shù)法求出直線DC的解析式:y=-x+4 ,
∵DC與FG平行,那么直線FG與直線DC的K值相同,因此可根據(jù)F的坐標(3,5)∴求得FG的解析式:y=-x+ ,然后聯(lián)立直線FG的解析式: :y=-x+,和拋物線的解析式.即可求出交點G坐標, 橫坐標是時,不符合題意,舍去.
②如圖過D作DM∥FC,交圓于點M,連接FM并延長交拋物線于點G,此時兩弧DF、MC相等,∠GFC=∠DCF,
解法同①,先求FC解析式,根DM∥FC和D點坐標,求出DM解析式,從而就出M坐標,根據(jù)點F、M坐標求出直線MF解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求得.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線交x軸于點,,交y軸于點C.
求拋物線的解析式;
如圖2,D點坐標為,連結(jié)若點H是線段DC上的一個動點,求的最小值.
如圖3,連結(jié)AC,過點B作x軸的垂線l,在第三象限中的拋物線上取點P,過點P作直線AC的垂線交直線l于點E,過點E作x軸的平行線交AC于點F,已知.
求點P的坐標;
在拋物線上是否存在一點Q,使得成立?若存在,求出Q點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,從一架水平飛行的無人機的尾端點測得正前方的橋的左端點俯角為,且,無人機的飛行高度米,橋的長度為1255米.
(1)求點到橋左端點的距離;
(2)若從無人機前端點測得正前方的橋的右端點的俯角為,求這架無人機的長度.
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【題目】2018年11月重慶潮童時裝周在重慶渝北舉了八場秀,云集了八大國內(nèi)外潮童品牌,不僅為大家?guī)砹艘粓銎放谱咝闶屓藗儗⒛抗廪D(zhuǎn)移到了00后、10后童模群體身上,開啟服裝新秀潮流,某大型商場抓住這次商機購進A、B兩款新童裝共1000件進行試銷售,其中每件A款童裝進價160元,每件B款童裝進價200元,若該商場本次以每件A款童裝按進價加價17元,每件B款童裝按進價加價15%進行銷售,全部銷售完,共獲利24800元.
(1)求購進A、B兩款童裝各多少件?
(2)元且期間該商場又購進A、B兩款童裝若干件并展開了降價促銷活動,在促銷期間,該商場將每件A款童裝按進價提高(m+10)%進行銷售,每件B款童裝裝按售價降低m%銷售.結(jié)果在元旦的銷售活動中A款童裝的銷售量比(1)中的銷售量降低了m%,B款童裝銷售量比(1)中銷售量上升了20%,兩款服裝銷售利潤之和比(1)中利潤多了3200元.求m的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,點是的中點,繞點按順時針旋轉(zhuǎn),且,的一邊交軸于點,開始時另一邊經(jīng)過點,點坐標為,當旋轉(zhuǎn)過程中,射線與軸的交點由點到點的過程中,則經(jīng)過點三點的圓的圓心所經(jīng)過的路徑長為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知,內(nèi)接于,點是弧的中點,連接、;
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,若平分,求證:;
(3)在(2)的條件下,若,,求的值.
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知,.
求拋物線的表達式;
在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標;如果不存在,請說明理由;
點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)在對稱軸上是否存在一點M,使△ANM的周長最。舸嬖,請求出M點的坐標和△ANM周長的最小值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點F,連接CD,EB.
(1)圖中還有幾對全等三角形,請你一一列舉;
(2)求證:CF=EF.
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