【題目】如圖1,拋物線y=ax2﹣6x+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣5,0)、B(﹣1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣5),點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn),連接PA、PC,PC與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,3),請求出此時(shí)△APC的面積;
(3)過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)H,交直線AC于點(diǎn)E,如圖2.
①若∠APE=∠CPE,求證:=;
②△APE能否為等腰三角形?若能,請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣6x﹣5;(2)15;(3)證明見解析;(4)能,P(﹣1,0)或(﹣2,3)或(,﹣7﹣6).
【解析】
試題分析:(1)把B、C坐標(biāo)代入 解析式中可求得a,c的值,解析式即可求出;(2)過P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q.由條件易求AC解析式.把P點(diǎn)橫坐標(biāo)到直線AC解析式中求出Q點(diǎn)坐標(biāo).則△CPQ與△APQ面積可求出,從而△APC面積可求;(3)①易證AP=PD,AH=DH,△PHD ∽△COD,設(shè)OH=p.則PH=-p2+6p-5,DH=AH=5-p,OD=2p-5,利用=,求出p值,求的AH,OH的長,再根據(jù)平行線分線段成比例,得出=,可證明結(jié)論;②設(shè)P(x,﹣x2﹣6x﹣5),則E(x,﹣x﹣5),分類討論:當(dāng)PA=PE,易得點(diǎn)P與B點(diǎn)重合,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0);當(dāng)AP=AE,如圖2,利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|,當(dāng)E′A=E′P,如圖2,AE′= E′H′= (x+5),P′E′=x2+5x,則x2+5x= (x+5),然后分別解方程求出x可得到對應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)把B(-1,0)、C(0,-5)坐標(biāo)代入y=ax2﹣6x+c中,得,解得,∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣6x﹣5;(2)設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,把A(﹣5,0),C(0,﹣5)代入得,解得,∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣5,作PQ∥y軸交AC于Q,如圖1,則Q(﹣2,﹣3),∴PQ=3﹣(﹣3)=6,∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ5=×6×5=15;(3)①∵∠APE=∠CPE,PH⊥AD,∴AP=PD,∴AH=DH.設(shè)OH=p,則PH=-p2+6p-5,DH=AH=5-p,OD=2p-5. ∵∠PHD=∠DOC=90°,∠PDH=∠ODC,∴△PHD ∽△COD,∴=,∴,解得p1=,p2=5(舍去).∴OH=,AH=.∵OC∥HE,∴==.②能.設(shè)P(x,﹣x2﹣6x﹣5),則E(x,﹣x﹣5),當(dāng)PA=PE,因?yàn)?/span>∠PEA=45°,所以∠PAE=45°,則點(diǎn)P與B點(diǎn)重合,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0);當(dāng)AP=AE,如圖2,則PH=HE,即|﹣x2﹣6x﹣ 5|=|﹣x﹣5|,解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5(舍去),x2=0(舍去);解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5(舍去),x2=﹣2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,3);當(dāng)E′A=E′P,如圖2,AE′= E′H′= (x+5),P′E′=﹣x﹣5﹣(﹣x2﹣6x﹣5)=x2+5x,則x2+5x= (x+5),解得x1=﹣5(舍去),x2=,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣7﹣6),綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),(﹣2,3),(,﹣7﹣6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形具有而一般平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是( )
A. 對角線相等 B. 對角相等 C. 對角線互相平分 D. 對邊相等
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【題目】如圖,已知在RtABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直線AC上找點(diǎn)P,使△ABP是等腰三角形,則∠APB的度數(shù)為_______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)當(dāng)a=2,b=時(shí),分別求代數(shù)式(ab)2和a2-2ab+b2的值.
(2)當(dāng)a=1,b=5時(shí),分別求代數(shù)式(ab)2和a2-2ab+b2的值;
(3)觀察(1)(2)中代數(shù)式的值,a2-2ab+b2與(ab)2有何關(guān)系?
(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,求135.72-2×135.7×35.7+35.72的值.
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