Question

【題目】我們規(guī)定：函數(shù)y=（a、b、k是常數(shù)，k≠ab）叫奇特函數(shù)．當(dāng)a=b=0時(shí)，奇特函數(shù)y=就是反比例函數(shù)y=（k是常數(shù)，k≠0）．

（1）如果某一矩形兩邊長分別是2和3，當(dāng)它們分別增加x和y后，得到新矩形的面積為8．求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并判斷它是否為奇特函數(shù)；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3），點(diǎn)D是OA中點(diǎn)，連接OB、CD交于E，若奇特函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、E，求該奇特函數(shù)的表達(dá)式；

（3）把反比例函數(shù)y=的圖象向右平移4個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位就可得到（2）中得到的奇特函數(shù)的圖象；

（4）在（2）的條件下，過線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個(gè)奇特函數(shù)圖象交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q右側(cè)），如果以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=是奇特函數(shù)．（2）奇特函數(shù)的表達(dá)式為y=．（3）2，見解析（4）P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（4+2+4，﹣2+2）即（2+8，）．

【解析】

試題分析：（1）只需運(yùn)用矩形的面積公式就可求出函數(shù)關(guān)系式，從而解決問題；

（2）可先求出直線OB和直線CD的解析式，求出它們的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題；

（3）只需將（2）中所求的奇特函數(shù)y=轉(zhuǎn)化為y=2+，就可解決問題；

（4）將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到點(diǎn)M的位置，構(gòu)建新的坐標(biāo)系，在新的坐標(biāo)系中，分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊和右邊兩種情況討論，只需先求出點(diǎn)P在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，就可求出點(diǎn)P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．

解：（1）由題意得：（2+x）（3+y）=8．

即3+y=，

∴y=﹣3=．

根據(jù)定義，y=是奇特函數(shù)．

（2）如圖1，

由題意得：B（6，3）、D（3，0），

設(shè)直線OB的解析式為y=mx，

則有6m=3，

解得：m=，

∴直線OB的解析式為y=x．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

，

解得：，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+3．

解方程組，得

，

∴點(diǎn)E（2，1）．

將點(diǎn)B（6，3）和E（2，1）代入y=得

，

解得：，

∴奇特函數(shù)的表達(dá)式為y=．

（3）∵y===2+．

∴把反比例函數(shù)y=的圖象向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，

就可得到奇特函數(shù)y=的圖象；

故答案為：2．

（4）滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，+4）或（2+8，）．

提示：①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊，如圖2①，

以點(diǎn)M為原點(diǎn)，構(gòu)建如圖2①所示的新坐標(biāo)系，

在該坐標(biāo)系下該奇特函數(shù)的解析式為y′=，點(diǎn)B的新坐標(biāo)為（2，1）．

∵直線PQ與雙曲線y′=都是以點(diǎn)M為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，

∴MP=MQ．

∵MB=ME，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

∴SBPEQ=4S△BMP=16，

∴S△BMP=4．

過點(diǎn)P作PG⊥x′軸于G，過點(diǎn)B作BH⊥x′軸于H，

根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得：

S△PGM=S△BHM=×2=1，

∴S△BMP=S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM=S梯形BHGP=4，

設(shè)點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x′，），

則有S梯形BHGP=（1+）（2﹣x′）=4，

解得x1′=﹣4﹣2（舍去），x2′=﹣4+2，

當(dāng)x=﹣4+2時(shí)，==+2，

即點(diǎn)P在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（﹣4+2，+2），

∴點(diǎn)P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（﹣4+2+4，+2+2）即（2，）；

②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，如圖2②，

同理可得：

點(diǎn)P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（4+2+4，﹣2+2）即（2+8，）．