Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M為線段BC上方拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，，或

【解析】

（1）利用對(duì)稱軸公式求得a的值，然后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，利用待定系數(shù)法求出解析式，再表示出MN，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；

（3）利用勾股定理列式求出AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D，然后分①AC＝CQ時(shí)，利用勾股定理列式求出DQ，分點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況求出點(diǎn)Q到x軸的距離，再寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ＝CQ，再寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝3，

∴=3，

∴b＝﹣6a，

∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）．

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)B（8，0），

∴64a﹣48a+4＝0，

解得，∴，

∴拋物線的解析式為；

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴C（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將B（8，0），C（0，4）代入得，

解得，

∴直線BC的解析式為．

∵點(diǎn)M為線段BC上方拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，

∴設(shè)，，其中0＜x＜8，

∴MN=

=

=

=

∴當(dāng)x＝4時(shí)，MN的值最大，最大值為4；

（3）存在．理由如下：

由勾股定理得，AC＝＝，

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D，則CD＝3，

①AC＝CQ時(shí)，DQ＝＝，

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4+，

此時(shí)點(diǎn)Q1（3，4+），

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4﹣，

此時(shí)點(diǎn)Q2（3，4﹣），

②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ＝5，

CQ＝＝5，

∴AQ＝CQ，

此時(shí)，點(diǎn)Q3（3，0），

③當(dāng)AC＝AQ時(shí)，∵AC＝2，點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為5，2＜5，

∴這種情形不存在．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，或．