Question

【題目】定義：若兩個(gè)函數(shù)y1和y2的自變量x的取值范圍相同，我們不妨把y1和y2的比值y稱為x的比函數(shù)，且比函數(shù)的自變量x的取值范圍不發(fā)生改變．例如：y1＝x2+2x（x＞0），y2＝x（x＞0），則x的比函數(shù)為y＝＝x+2（x＞0）．

（1）已知y1＝x2﹣4（2≤x≤3），y2＝x+2（2≤x≤3），寫出x的比函數(shù)y的解析式，并求出y的取值范圍；

（2）已知y1＝x+2（x＞1），y2＝x﹣2（x＞1），求x的比函數(shù)y的圖象上的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）的坐標(biāo)；

（3）已知y1＝x2﹣x+1，y2＝x2+x+1，若x的比函數(shù)y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數(shù)）存在交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣2，0≤y≤1；（2）整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5），（4，3），（6，2）；（3）當(dāng)k≤4時(shí)，x的比函數(shù)y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數(shù)）存在交點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)比函數(shù)的定義即可得出答案；

（2）先根據(jù)比函數(shù)的定義寫出x的比函數(shù)，再將比函數(shù)化簡(jiǎn)成一個(gè)整數(shù)加上一個(gè)分式的形式，即可得出答案；

（3）先根據(jù)比函數(shù)的定義寫出x的比函數(shù)，再求出比函數(shù)y的取值范圍，根據(jù)“x的比函數(shù)y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數(shù)）存在交點(diǎn)”得出x2+2x+k的取值范圍，即可得出答案.

解：（1）x的比函數(shù)為y＝，

∵2≤x≤3，

∴0≤y≤1；

（2）x的比函數(shù)為y＝，

∵x＞1，

∴x＝3時(shí)，y＝5；x＝4時(shí)，y＝3；x＝6時(shí)，y＝2，

∴x的比函數(shù)圖象上的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5），（4，3），（6，2）；

（3）x的比函數(shù)為y＝，

當(dāng)x＞0時(shí)，x+≥2，

∴≤y＜1，

當(dāng)x＜0時(shí)，x+≤﹣2，

∴1＜y≤3，

∴≤y≤3且y≠1，

∵x的比函數(shù)y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數(shù)）存在交點(diǎn)，

∴x2+2x+k≤3，

∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，拋物線的最小值為k﹣1，

∴k﹣1≤3，即k≤4，

∴當(dāng)k≤4時(shí)，x的比函數(shù)y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數(shù)）存在交點(diǎn)．