【題目】問(wèn)題背景:我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì):在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,則:AC=AB.
探究結(jié)論:小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究.
(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE=AB,易得結(jié)論:①△ACE為等邊三角形;②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如圖2,點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn),連接AD,作等邊△ADE,且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部,連接BE.試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出你的猜想并加以證明.
(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí),在(2)條件的基礎(chǔ)上,線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論 .
拓展應(yīng)用:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1),點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn),以AB為邊作等邊△ABC,當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi),且B(2,0)時(shí),求C點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)EC=EB;(2)ED=EB,理由見(jiàn)解析;(3)ED=EB;拓展應(yīng)用:C(1,2+).
【解析】
探究結(jié)論:(1)只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問(wèn)題;
(2)如圖2中,結(jié)論:ED=EB.想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問(wèn)題;
(3)結(jié)論不變,證明方法類似;
拓展應(yīng)用:利用(2)中結(jié)論,可得CO=CB,設(shè)C(1,n),根據(jù)OC=CB=AB,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.
探究結(jié)論(1),如圖1中,
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵AC=AB=AE=EB,
∴△ACE是等邊三角形,
∴EC=AE=EB,
故答案為:EC=EB;
(2)如圖2中,結(jié)論:ED=EB.
理由:連接PE,
∵△ACP,△ADE都是等邊三角形,
∴AC=AD=DE,AD=AE,∠CAP=∠DAE=60°,
∴∠CAD=∠PAE,
∴△CAD≌△PAE,
∴∠ACD=∠APE=90°,
∴EP⊥AB,∵PA=PB,
∴EA=EB,∵DE=AE,
∴ED=EB;
(3)當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí),同法可證:ED=EB,
故答案為:ED=EB;
拓展應(yīng)用:如圖3中,作AH⊥x軸于H,CF⊥OB于F,連接OA,
∵A(﹣,1),
∴∠AOH=30°,
由(2)可知,CO=CB,
∵CF⊥OB,
∴OF=FB=1,
∴可以假設(shè)C(1,n),
∵OC=BC=AB,
∴1+n2=1+(+2)2,
∴n=2+,
∴C(1,2+).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一名足球守門(mén)員練習(xí)折返跑,從球門(mén)線出發(fā),向前記作正數(shù),返回記作負(fù)數(shù),他的記錄如下:(單位:米)+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10
(1)守門(mén)員最后是否回到了球門(mén)線的位置?
(2)在練習(xí)過(guò)程中,守門(mén)員離開(kāi)球門(mén)最遠(yuǎn)距離是多少米?
(3)守門(mén)員全部練習(xí)結(jié)束后,他共跑了多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】化簡(jiǎn)求值:
(1)當(dāng)a=﹣1,b=2時(shí),求代數(shù)式﹣2(ab﹣3b2)﹣[6b2﹣(ab﹣a2)]的值
(2)先化簡(jiǎn),再求值:4xy﹣2(x2﹣3xy+2y2)+3(x2﹣2xy),當(dāng)(x﹣3)2+|y+1|=0,求式子的值
(3)若(2mx2﹣x+3)﹣(3x2﹣x﹣4)的結(jié)果與x的取值無(wú)關(guān),求m的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn),正比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求的表達(dá)式;
(3)求和的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先化簡(jiǎn),再求值:
閱讀材料,大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書(shū)時(shí)曾經(jīng)研究過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題:1+2+3+…+100=?經(jīng)過(guò)研究,這個(gè)問(wèn)題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+,其中n是正整數(shù),F(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問(wèn)題:1×2+2×3+…=?
觀察下面三個(gè)特殊的等式
將這三個(gè)等式的兩邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=
讀完這段材料,請(qǐng)你思考后回答:(只需寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)中間的過(guò)程)
(1)
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=
(3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知O是直線AB上一點(diǎn),∠BOC<90°,三角板(MON)的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)O處現(xiàn)將三角板繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),并保持OM和OC在直線AB的同一側(cè).
(1)若∠BOC=50°
①當(dāng)OM平分∠BOC時(shí),求∠AON的度數(shù).
②當(dāng)OM在∠BOC內(nèi)部,且∠AON=3∠COM時(shí),求∠CON的度數(shù):
(2)當(dāng)∠COM=2∠AON時(shí),請(qǐng)畫(huà)出示意圖,猜想∠AOM與∠BOC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖,直線與軸,軸分別交于,兩點(diǎn),其中.
(1)求的值;
(2)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)僅在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),試寫(xiě)出的面積與的函數(shù)關(guān)系式;
(3)探索:
①在(2)條件下,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),的面積是;
②在①成立的情況下,在軸上是否存在一點(diǎn),使△是等腰三角形?若存在,請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC是ABCD的對(duì)角線,∠BAC=∠DAC.
(1)求證:AB=BC;
(2)若AB=2,AC=2,求ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l,交直線BC于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CF⊥直線l,F(xiàn)為垂足,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),以P,C,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似?并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),連結(jié)PC,PB,請(qǐng)問(wèn)△PBC的面積S能否取得最大值?若能,請(qǐng)求出最大面積S,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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