Question

【題目】如圖，已知O是直線AB上一點(diǎn)，∠BOC＜90°，三角板（MON）的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)O處現(xiàn)將三角板繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，并保持OM和OC在直線AB的同一側(cè)．

（1）若∠BOC＝50°

①當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，求∠AON的度數(shù)．

②當(dāng)OM在∠BOC內(nèi)部，且∠AON＝3∠COM時(shí)，求∠CON的度數(shù)：

（2）當(dāng)∠COM＝2∠AON時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出示意圖，猜想∠AOM與∠BOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①65°；②70°；（2）圖詳見(jiàn)解析，3∠AOM+∠BOC＝360°或∠AOM＝∠BOC．

【解析】

（1）①根據(jù)平角的定義得到∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，根據(jù)角平分線的定義得到∠COM＝∠BOC＝25°，于是得到結(jié)論；

②如圖1，設(shè)∠COM＝α，則∠AON＝3α，求得∠BOM＝50°﹣α，列方程即可得到結(jié)論；

（2）①如圖2，設(shè)∠AON＝α，則∠COM＝2α，②如圖3，設(shè)∠AON＝α，則∠COM＝2α，③如圖4，設(shè)∠AON＝α，則∠COM＝2α，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．

解：（1）①∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM＝∠BOC ＝25°，

∵∠MON＝90°，

∴∠CON＝90°﹣25°＝65°，

∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝65°；

②如圖1，∵∠AON＝3∠COM，

∴設(shè)∠COM＝α，則∠AON＝3α，

∴∠BOM＝50°﹣α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AON+∠BOM＝90°，

∴3α+50°﹣α＝90°，

∴α＝20°，

∴∠CON＝90°﹣α＝70°；

（2）①如圖2，∵∠COM＝2∠AON，

∴設(shè)∠AON＝α，則∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠BOM＝90°﹣∠AON＝90°﹣α，

∴∠BOC＝∠BOM+∠COM＝90°﹣α+2α＝90°+α，

∵∠BOC＜90°，

∴這種情況不存在；

②如圖3，∵∠COM＝2∠AON，

∴設(shè)∠AON＝α，則∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°+α，∠BOC＝90°﹣3α，

∴3∠AOM+∠BOC＝360°；

③如圖4，∵∠COM＝2∠AON，

∴設(shè)∠AON＝α，則∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣α，∠BOC＝180°﹣∠AOM﹣∠COM＝90°﹣α，

∴∠AOM＝∠BOC．