Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x²+﹙2m+2﹚x-﹙m²+4m-3﹚，m是非負整數(shù)，圖象與x軸交于點A和點B，點A、B分別在原點的左、右兩邊，點A在點B右側(cè)．
﹙1﹚求該二次函數(shù)的解析式；
﹙2﹚一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A，與這個二次函數(shù)的圖象交于點C，且△ABC的面積為10，求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：代數(shù)綜合題,判別式法

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，可得出（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，求得m的取值范圍，再根據(jù)m是非負整數(shù)，求出m的值，從而得出二次函數(shù)的解析式；
（2）由點A的坐標和△ABC的面積為10，可得出k、b的值，從而求得一次函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）由題意得，（2m+2）²-4（m²+4m-3）＞0，
解得m＜2，
∵m是非負整數(shù)，
∴m=0或1，
當m=0時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3，
當m=1時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-2，
∵圖象與x軸交于點A和點B，點A、B分別在原點的左、右兩邊，
∴當m=1時，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-2不符合題意，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）設(shè)點C（x，y），
由△ABC的面積為10，
得4|y|=20，
∴y=±5，
∵二次函數(shù)y=-x²+2x+3的頂點為（1，4），
∴y=5不符合題意；
∴y=-5，
把y=-5代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3，得x₁=-2，x₂=4；
∴點C（-2，-5），（4，-5）
當C（-2，-5）時，把點A、C代入y=kx+b，得k=b=5，解析式為y=5x+5；
當C（4，-5）時，把點A、C代入y=kx+b，得k=b=-1，解析式為y=-x-1；
∴一次函數(shù)的解析式為y=5x+5或y=-x-1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，難度中等，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，當拋物線與x中有兩個交點時，一元二次方程的判別式大于0；當拋物線與x中有一個交點時，一元二次方程的判別式等于0；當拋物線與x中沒有交點時，一元二次方程的判別式小于0．