Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，AB=6

3

，AD⊥AC，連接CD．點E在AC上，AE=

1

3

AC，過點E作MN⊥AC，分別交AB、CD于點M、N．
（1）求ME的長；
（2）當AD=3時，求四邊形ADNE的周長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）在直角三角形ABC中，由∠ACB的度數(shù)求出∠BAC的度數(shù)，確定出CB與AC的長，由AE=

1

3

AC，求出AE的長，在直角三角形AEM中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出ME的長即可；
（2）由AD與EN都與AC垂直，得到AD與EN平行，由平行得相似，確定出三角形CEN與三角形CAD相似，由相似得比例，根據(jù)AD的長求出EN的長，在直角三角形CEN中，利用勾股定理求出CN的長，進而確定出CD的長，由CD-CN求出DN的長，即可確定出四邊形ADNE的周長．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠ACB=60°，AB=6

3

，
∴∠BAC=30°，CB=6，AC=12，
∵AE=

1

3

AC，
∴AE=4，
在Rt△AEM中，∠MAE=30°，
∴ME=AEtan30°=

4 3

3

；

（2）∵AD⊥AC，EN⊥AC，
∴AD∥EN，
∴△CEN∽△CAD，
∴

EN

AD

=

CN

CD

=

CE

CA

=

2

3

，
∵AD=3，
∴EN=2，
在Rt△CEN中，CE=8，
∴CN=

EN2+CE2

=

68

=2

17

，CD=

3

2

×2

17

=3

17

，
∴DN=CD-CN=

17

，
則四邊形ADNE的周長為3+4+2+

17

=9+

17

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．