定義〔a,b,c〕為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù),下面給出特征數(shù)為〔2m,1-4m,2m-1〕的一個函數(shù)的一些結論:
①當m=
1
2
時,函數(shù)圖象的頂點坐標是(
1
2
,
1
4
);
②當m=-1時,函數(shù)在x>1時,y隨x的增大而減;
③無論m取何值,函數(shù)圖象都經(jīng)過同一點.
其中正確的結論有
 
(填寫序號)
考點:二次函數(shù)的性質
專題:新定義
分析:先根據(jù)新定義得到y(tǒng)=2mx2+(1-4m)x+2m-1,當m=
1
2
時,解析式為y=x2-x,然后配成頂點式后可對①進行判斷;
當m=-1時,解析式為y=-2x2+5x-3,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質對②進行判斷;
把y=2mx2+(1-4m)x+2m-1化為關于m的方程得(2x2-4x+2)m=x+y+1,若函數(shù)圖象都經(jīng)過同一點,則2x2-4x+2=0,x+y+1=0,求出x和y的值得到定點坐標,于是可對③進行判斷.
解答:解:根據(jù)題意得y=2mx2+(1-4m)x+2m-1,
當m=
1
2
時,y=x2-x=(x-
1
2
2-
1
4
,此拋物線頂點坐標為(
1
2
,-
1
4
),所以①錯誤;
當m=-1時,y=-2x2+5x-3,對稱軸為直線x=-
5
2×(-2)
=
5
4
,則當x>
5
4
時,y隨x的增大而減小,所以②錯誤;
把y=2mx2+(1-4m)x+2m-1化為關于m的方程得(2x2-4x+2)m=x+y+1,
當m有無數(shù)個值時,方程成立,則2x2-4x+2=0,x+y+1=0,
解得x=1,y=-2,
即當x=1,y=-2時,m可取任意數(shù),
所以無論m取何值,函數(shù)圖象都經(jīng)過同一點(1,-2),所以③正確.
故答案為③.
點評:本題考查了二次函數(shù)的性質:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
),對稱軸直線x=-b2a,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象具有如下性質:當a>0時,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向上,x<-
b
2a
時,y隨x的增大而減;x>-
b
2a
時,y隨x的增大而增大;x=-
b
2a
時,y取得最小值
4ac-b2
4a
,即頂點是拋物線的最低點.當a<0時,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向下,x<-
b
2a
時,y隨x的增大而增大;x>-
b
2a
時,y隨x的增大而減;x=-
b
2a
時,y取得最大值
4ac-b2
4a
,即頂點是拋物線的最高點.
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x
1×3
+
x
3×5
+
x
5×7
+…+
x
2001×2013
=2012
的解
 

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