【題目】(1)(操作發(fā)現(xiàn))
如圖1,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,得到△ADE,連接BD,則∠ABD= 度.
(2)(解決問題)
①如圖2,在邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
②如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),若PB=1,PA=3,∠BPC=135°,則PC= .
(3)(拓展應(yīng)用)
如圖4是A,B,C三個(gè)村子位置的平面圖,經(jīng)測(cè)量AB=4,BC=3,∠ABC=75°,P為△ABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.
【答案】(1)65;(2)①;②2;(3)PA+PB+PC的最小值為.
【解析】
(1)【操作發(fā)現(xiàn)】:如圖1中,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB,由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案;
(2)【解決問題】
①如圖2中,將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,只要證明∠PP′C=90°,利用勾股定理即可解決問題;
②如圖3中,將△CBP繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△CAP′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到∠P′CP=∠ACB=90°,進(jìn)而得到等腰直角三角形,求出PP'即可得出答案;
(3)【拓展應(yīng)用】
如圖4中,將△APB繞BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△EDB,連接PD、CE.得出∠CBE=135°,過點(diǎn)E作EF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求出CF和EF的長(zhǎng),可求出CE長(zhǎng),則答案可求出.
(1)【操作發(fā)現(xiàn)】
解:如圖1中,
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,得到△ADE,
∴AD=AB,∠DAB=50°,
∴=65°,
故答案為:65.
(2)【解決問題】
①解:如圖2中,∵將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,
∴△APP′是等邊三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°,
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,
∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,
∴PP′=PC,即AP=PC,
∵∠APC=90°,
∴AP2+PC2=AC2,即(PC)2+PC2=()2,
∴PC=2,
∴AP=,
∴S△APC=APPC=××2=.
②如圖3,將△CBP繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△CAP′,
∵CP′=CP,∠P′CP=∠ACB=90°,
∴△P′CP為等腰直角三角形,
∴∠CP'P=45°,
∵∠BPC=135°=∠AP'C,
∴∠AP′P=90°,
∵PA=3,PB=1,
∴AP′=1,
∴PP′===2,
∴PC===2.
故答案為:2.
(3)【拓展應(yīng)用】
解:如圖4中,將△APB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△EDB,連接PD、CE.
∵將△APB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△EDB,
∴∠ABP=∠EBD,AB=EB=4,∠PBD=60°,△BPD為等邊三角形,AP=DE
∴∠ABP+∠PBC=∠EBD+∠PBC,PB=PD
∴∠EBD+∠PBC=∠ABC=75°,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得PA+PB+PC=DE+PD+PC≤CE,即PA+PB+PC的最小值為CE的長(zhǎng)
∴∠CBE=135°,
過點(diǎn)E作EF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,
∴∠EBF=45°,
∴,
在Rt△CFE中,∵∠CFE=90°,BC=3,EF=2,
∴=
即PA+PB+PC的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形為正方形,點(diǎn)的坐標(biāo)為,動(dòng)點(diǎn)沿邊從向以每秒的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)沿邊從向以同樣的速度運(yùn)動(dòng),連接、交于點(diǎn).
(1)試探索線段、的關(guān)系,寫出你的結(jié)論并說明理由;
(2)連接、,分別取、、、的中點(diǎn)、、、,則四邊形是什么特殊平行四邊形?請(qǐng)?jiān)趫D①中補(bǔ)全圖形,并說明理由.
(3)如圖②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn),是否存在點(diǎn)使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知拋物線(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知:S四邊形ACBD=1:4.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用僅含c的代數(shù)式表示);
(2)若tan∠ACB=,求拋物線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形△ABC中,∠BAC=120°,AB=3.
(1)求BC的長(zhǎng).
(2)如圖,點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,連EF.求EF的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京第一條地鐵線路于1971年1月15日正式開通運(yùn)營(yíng).截至2017年1月,北京地鐵共“金山銀山,不如綠水青山”.某市不斷推進(jìn)“森林城市”建設(shè),今春種植四類樹苗,園林部門從種植的這批樹苗中隨機(jī)抽取了4000棵,將各類樹苗的種植棵數(shù)繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,將各類樹苗的成活棵數(shù)繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖,經(jīng)統(tǒng)計(jì)松樹和楊樹的成活率較高,且楊樹的成活率為97%,根據(jù)圖表中的信息解答下列問題:
(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中松樹所對(duì)的圓心角為 度,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)該市今年共種樹16萬(wàn)棵,成活了約多少棵?
(3)園林部門決定明年從這四類樹苗中選兩類種植,請(qǐng)用列表法或樹狀圖求恰好選到成活率較高的兩類樹苗的概率.(松樹、楊樹、榆樹、柳樹分別用A,B,C,D表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn),另拋物線經(jīng)過點(diǎn),M為它的頂點(diǎn).
求拋物線的解析式;
求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,O是AD的中點(diǎn),以O為圓心在AD的下方作半徑為3的半圓O,交AD于E、F.
思考:連接BD,交半圓O于G、H,求GH的長(zhǎng);
探究:將線段AF連帶半圓O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到半圓O′,設(shè)其直徑為E'F′,旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<180°).
(1)設(shè)F′到AD的距離為m,當(dāng)m>時(shí),求α的取值范圍;
(2)若半圓O′與線段AB、BC相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為R,求的長(zhǎng).
(sin49°=,cos41°=,tan37°=,結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使得的周長(zhǎng)最。咳舸嬖,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景:
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)A,E處(如圖②),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD.
簡(jiǎn)單應(yīng)用:
(1)在圖①中,若AC=2,BC=4,則CD= .
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上,弧AD=弧BD,若AB=13,BC=12,求CD的長(zhǎng).
拓展規(guī)律:
(3)如圖4,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE=AC,CE=CA,且點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí),點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 .
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