【題目】問(wèn)題背景:
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
小吳同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是:將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)A,E處(如圖②),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD.
簡(jiǎn)單應(yīng)用:
(1)在圖①中,若AC=2,BC=4,則CD= .
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上,弧AD=弧BD,若AB=13,BC=12,求CD的長(zhǎng).
拓展規(guī)律:
(3)如圖4,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE=AC,CE=CA,且點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí),點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 .
【答案】(1);(2);(3)或.
【解析】
(1)由題意可知:AC+BC= CD,所以將AC與BC的長(zhǎng)度代入即可得出CD的長(zhǎng)度;(2)連接AC、BD、AD即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第(1)問(wèn)的問(wèn)題,利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長(zhǎng)度;(3)當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí),連接CQ、CP后,利用(2)的結(jié)論進(jìn)行求解即可.
(1)由題意知:AC+BC= CD,
∴2+4 = CD,
∴CD=3;
(2)解:連接AC、BD、AD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵ ,
∴AD=BD,
將△BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,如圖③,
∴∠EAD=∠DBC,
∵∠DBC+∠DAC=180°,
∴∠EAD+∠DAC=180°,
∴E、A、C三點(diǎn)共線,
∵AB=13,BC=12,
∴由勾股定理可求得:AC=5,
∵BC=AE,
∴CE=AE+AC=17,
∵∠EDA=∠CDB,
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,
即∠EDC=∠ADB=90°,
∵CD=ED,
∴△EDC是等腰直角三角形,
∴CE=CD,
∴CD= ;
(3)當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí),如圖④,
連接CQ,PC,
∵AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),
∴AP=CP,∠APC=90°,
又∵CA=CE,點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn),
∴∠CQA=90°,
設(shè)AC=a,
∵AE= AC,
∴AE= a,
∴AQ= AE= ,
由勾股定理可求得:CQ= a,
由(2)的證明過(guò)程可知:AQ+CQ= PQ,
∴ PQ= a+ a,
∴ PQ= AC或;
∴當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí),線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 PQ= AC或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)(操作發(fā)現(xiàn))
如圖1,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,得到△ADE,連接BD,則∠ABD= 度.
(2)(解決問(wèn)題)
①如圖2,在邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
②如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),若PB=1,PA=3,∠BPC=135°,則PC= .
(3)(拓展應(yīng)用)
如圖4是A,B,C三個(gè)村子位置的平面圖,經(jīng)測(cè)量AB=4,BC=3,∠ABC=75°,P為△ABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市某幼兒園六一期間舉行親子游戲,主持人請(qǐng)三位家長(zhǎng)分別帶自己的孩子參加游戲,主持人準(zhǔn)備把家長(zhǎng)和孩子重新組合完成游戲,A、B、C分別表示三位家長(zhǎng),他們的孩子分別對(duì)應(yīng)的是a、b、c.
(1)若主持人分別從三位家長(zhǎng)和三位孩子中各選一人參加游戲,恰好是A、a的概率是多少(直接寫(xiě)出答案)
(2)若主持人先從三位家長(zhǎng)中任選兩人為一組,再?gòu)暮⒆又腥芜x兩人為一組,四人共同參加游戲,恰好是兩對(duì)家庭成員的概率是多少.(畫(huà)出樹(shù)狀圖或列表)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)與原點(diǎn)重合點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上,將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至正方形AB′C′D′的位置,B′C′與CD相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,半徑為10的⊙中,弦,所對(duì)的圓心角分別是,,若,,則弦的長(zhǎng)等于( )
A. 18B. 16C. 10D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為研究學(xué)生的課余愛(ài)好情況,采取抽樣調(diào)查的方法,從閱讀、運(yùn)動(dòng)、娛樂(lè)、上網(wǎng)等四個(gè)方面調(diào)查了若干學(xué)生的興趣愛(ài)好;并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)在這次研究中,一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并計(jì)算閱讀部分圓心角是 度.
(3)若該校九年級(jí)愛(ài)好閱讀的學(xué)生有150人,估計(jì)九年級(jí)有 名學(xué)生?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,以斜邊AB為直徑作Rt△ABC的外接圓,圓心為O,P為弧BC的中點(diǎn).
(1)只用直尺和筆作圖:在弧ACB另一側(cè)的圓上找一點(diǎn)G,連接PG交BC于點(diǎn)D,使D成為BC中點(diǎn).并說(shuō)明你的理由.
(2)在(1)小題圖形基礎(chǔ)上,在DG上取一點(diǎn)K,使DK=DP,連接CK、BK,判斷四邊形PBKC的形狀,并證明你的結(jié)論.
(3)如題圖2,取CP的中點(diǎn)E,連接ED并延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)H,連接PH,求證:當(dāng)∠CAB=60°時(shí),H為AB四等分點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BM切⊙O于點(diǎn)B,點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),連接AP,過(guò)點(diǎn)O作OQ∥AP交BM于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)C,交QO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接PQ,OP.
(1)求證:△BOQ≌△POQ;
(2)若直徑AB的長(zhǎng)為12.
①當(dāng)PE= 時(shí),四邊形BOPQ為正方形;
②當(dāng)PE= 時(shí),四邊形AEOP為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某養(yǎng)殖場(chǎng)在養(yǎng)殖面積擴(kuò)建中,準(zhǔn)備將總長(zhǎng)為米的籬笆圍成 矩形形狀的雞舍,其中一邊利用現(xiàn)有的一段足夠長(zhǎng)的圍墻,其余三邊 用籬笆,且在與墻平行的一邊上開(kāi)一個(gè)米寬的門(mén).設(shè)邊長(zhǎng)為米, 雞舍面積為平方米.
求出與的函數(shù)關(guān)系式;(不需寫(xiě)自變量的取值范圍).
當(dāng)雞舍的面積為平方米時(shí),求出雞舍的一邊的長(zhǎng).
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