【題目】綜合與探究:在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線軸交于,兩點(在點的右側(cè)),與軸交于點,它的對稱軸與軸交于點,直線經(jīng)過,兩點,連接

1)求,兩點的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式;

2)探索直線上是否存在點,使為直角三角形,若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

3)若點是直線上的一個動點,試探究在拋物線上是否存在點

①使以點,,為頂點的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

②使以點,,,為頂點的四邊形為矩形,若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】1)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為;(2)存在,點的坐標(biāo)為;(3)①拋物線上存在點,使以點為頂點的四邊形為菱形,此時點的坐標(biāo)為;②拋物線上存在點,使以點為頂點的四邊形為矩形,此時點的坐標(biāo)為

【解析】

1)先由拋物線的解析式以及圖像特征求得點、的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)先由點、 、 三點的坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)系中距離公式推出為等邊三角形,再分兩種情況畫圖進(jìn)行分類討論,利用解直角三角形確定符合要求的點的坐標(biāo).

(3)①通過添加輔助線構(gòu)造出四邊形,然后根據(jù)菱形的判定方法進(jìn)行證明即可;

②通過添加輔助線構(gòu)造出四邊形,然后根據(jù)矩形的判定方法進(jìn)行證明即可.

解:(1)當(dāng)時,

解得

∴點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為

∴拋物線的對稱軸為直線

∴點的坐標(biāo)為

當(dāng)時,

∴點的坐標(biāo)為

設(shè)直線的表達(dá)式為,則

解得

∴直線的表達(dá)式為

2)結(jié)論:直線上存在點,使為直角三角形.

證明:∵點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為

又∵點的坐標(biāo)為,

為等邊三角形

分兩種情況:

①當(dāng)時,

軸于點,如圖:

∵在中,

∴點的坐標(biāo)為

②作軸于點,如圖:

當(dāng)

,

中,

,

∴點的坐標(biāo)為

∴綜上所述:直線上存在點,使為直角三角形,點的坐標(biāo)為;

(3)①過點軸交拋物線于點,連接,如圖:

∵點的坐標(biāo)為,

∴當(dāng)時,

,(不合題意舍去)

∴點的坐標(biāo)為

∵點的坐標(biāo)為

∵由(2)可知

∴四邊形是菱形

∴當(dāng)點位于點處時,拋物線上存在點,使以點、、、為頂點的四邊形為菱形,此時點的坐標(biāo)為;

②過點交直線于點,連接、,如圖:

∵由(2)可知

∵由(2)可知

∵點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為

,

∴四邊形是矩形

∴拋物線上存在點即點處,使以點、、為頂點的四邊形為矩形,此時點的坐標(biāo)為

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