【題目】拋物線的對稱軸為直線,且頂點(diǎn)在軸上,與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在拋物線的對稱軸上,直線與直線相交于點(diǎn)

1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

2)點(diǎn)是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)軸的垂線與直線交于點(diǎn).試判斷是否為等腰三角形,并說明理由.

3)作于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)從橫坐標(biāo)2013處運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)2019處時(shí),請求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【答案】1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;(2是等腰三角形,理由見解析;(3)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為3

【解析】

1)由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)表達(dá)式,再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入計(jì)算即可;

2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,利用勾股定理可求得PB長,再利用PD坐標(biāo)可求得PD長,進(jìn)而證得是等腰三角形;

3)設(shè)直線軸的交點(diǎn)為,則,先證得的中位線,進(jìn)而可知點(diǎn)軸上運(yùn)動(dòng),再通過點(diǎn)P橫坐標(biāo)的變化可求得CD的長度變化,進(jìn)而求得點(diǎn)E的路徑長.

1)根據(jù)題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,

所以設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:,解得,

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

2是等腰三角形;

理由:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)D坐標(biāo)為,

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)B坐標(biāo)為

,

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)D坐標(biāo)為

,

,

是等腰三角形;

3)如圖所示:

,

即點(diǎn)EBD中點(diǎn),

設(shè)直線軸的交點(diǎn)為,則,

∴點(diǎn)FBC中點(diǎn),

的中位線,

,

點(diǎn)軸上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)的橫坐標(biāo)為2013時(shí),,此時(shí),

當(dāng)的橫坐標(biāo)為2019時(shí),,此時(shí),

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為:

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獎(jiǎng)項(xiàng)

一等獎(jiǎng)

二等獎(jiǎng)

三等獎(jiǎng)

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1)求,兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式;

2)探索直線上是否存在點(diǎn),使為直角三角形,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)

①使以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

②使以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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