Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，點P為線段AB上一動點（不與點A重合），過點P作PE⊥AB交射線AD于點E，沿PE將△APE折疊，點A的對稱點為點F，連接EF，DF，CF，當△CDF為等腰三角形時，AP的長為________．

Answer 1

【答案】2，或

【解析】

根據(jù)題意分DF=CD、CF=CD或FD=FC三種情況先得出相應的圖形，由此進一步結合相關信息加以分析即可.

如圖1，當DF=CD時，點F在點處，作DN⊥AB于點N，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，

∴CD=AD=4，

在Rt△AND中，

∵∠DAN=45°，AD=4，

∴DN=AN=，

又∵DA=D，且DN⊥AB，

∴N=AN=，

∴AP=；

如圖2，當CF=CD=4時，點F與點B重合或在點處，

①點F與點B重合時，則PE是AB的垂直平分線，

∴AP=；

②點F在點處時，過點C作CM⊥AB于點M，

易得：∠DAB=∠=45°，CB==4，

∴CM==BM=，

∴=，

∴AP=，

此時點E不在線段AD上，舍去；

如圖3，當FD=FC時，過點F作FQ⊥CD于點Q，交BC于點G，

則：CQ=DQ=QG=2，FQ=，

∴BF=GF=，

∴AF=，

∴AP=；

綜上所述，AP的長度為：2，或，

故答案為：2，或.