Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿著CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒．

（1）x為何值時，PQ∥BC；

（2）是否存在某一時刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)＝時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）cm；（3）．

【解析】

試題本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解方程、兩個三角形的面積比等于兩個底的比（這兩底上的高相等）等知識，利用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

（1）當(dāng)PQ∥BC時，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值．

（2）由△APQ∽△CQB得出＝，進(jìn)一步代入求x的值；

（3）當(dāng)時得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時時間x正好是（1）的結(jié)果，那么此時PQ∥BC，由此可根據(jù)平行這個特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出答案即可

試題解析：解：（1）由題意知AP=4x，CQ=3x,

若PQ∥BC,則△APQ∽△ABC，

=，

∵AB=BC=20，AC=30，

∴AQ=30-3x，

∴＝，

∴x＝，

∴當(dāng)x＝時，PQ∥BC．

（2）∵△APQ∽△CQB，則＝，

∴＝，

∴9x-10x=0，

∴x1=0（舍去）．x2＝．

∴當(dāng)AP的長為cm，△APQ∽△CQB；

（3）∵，

∴＝，

又∵AC=30，

∴CQ=10，

即3x÷10x＝，

此時，AP＝4x＝，

∴＝＝．

∴＝＝．