Question

【題目】定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑.

【1】如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段 .

【1】在線段AC上確定一點(diǎn)P，使損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上)，請(qǐng)作出這個(gè)圓，并說(shuō)明你的理由. 友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．

【1】如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結(jié)BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由. 若此時(shí)AB＝3，BD＝，求BC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】

【1】AC；

【1】作圖如圖；

∵點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，∴PA＝PC＝AC.

∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，

∴點(diǎn)A、B、C、D在以P為圓心，AC為半徑的同一個(gè)圓上.

【1】∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，

∴由⑵可知，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上.

∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD＝CD，

∴四邊形ACEF為正方形.

∵點(diǎn)BD平分∠ABC，BD＝，∴點(diǎn)D到AB、BC的距離h為4，

∴＝6. ，

，，

∵，∴＋＝6＋2BC，

∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，∴BC＝5.

【解析】當(dāng)菱形的一個(gè)角為直角時(shí)就成為正方形，根據(jù)面積之間的關(guān)系可以求得BC＝5.