Question

12．如圖，△ABC內(nèi)角∠ABC的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP交于點(diǎn)P，如果已知∠BPC=67°，則∠CAP=23°．

Answer 1

分析 根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案

解答 解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設(shè)∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=67°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-67）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-67°）-（x°-67°）=134°，
∴∠CAF=46°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PM=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=23°．
故答案為：23°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．