Question

【題目】如圖，直線和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，點在反比例函數(shù)的圖象上，連接．

（1）求直線和反比例函數(shù)的解析式；

（2）直線經(jīng)過點嗎？請說明理由；

（3）當(dāng)直線與反比例數(shù)圖象的交點在兩點之間.且將分成的兩個三角形面積之比為時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過點，理由見解析；（3）的值為或．

【解析】

（1）依據(jù)直線l1：y=-2x+b和反比例數(shù)的圖象都經(jīng)過點P（2，1），可得b=5，m=2，進(jìn)而得出直線l1和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點Q的坐標(biāo)為，依據(jù)當(dāng)時，y=-2×+5=4，可得直線l1經(jīng)過點Q；
（3）根據(jù)OM將分成的兩個三角形面積之比為，分以下兩種情況：①△OMQ的面積:△OMP的面積=1:2，此時有QM:PM=1:2；②OMQ的面積:△OMP的面積=2:1，此時有QM:PM=2:1，再過M，Q分別作x軸，y軸的垂線，設(shè)點M的坐標(biāo)為(a，b)，根據(jù)平行線分線段成比例列方程求解得出點M的坐標(biāo)，從而求出k的值．

解：（1）∵直線和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，

．

∴直線l1的解析式為y=-2x+5，反比例函數(shù)大家解析式為；

（2）直線經(jīng)過點，理由如下.點在反比例函數(shù)的圖象上，

．

點的坐標(biāo)為．

當(dāng)時，．

直線經(jīng)過點；

（3）的值為或．理由如下：

OM將分成的兩個三角形面積之比為，分以下兩種情況：

①△OMQ的面積:△OMP的面積=1:2，此時有QM:PM=1:2，

如圖，過點M作ME⊥x軸交PC于點E，MF⊥y軸于點F；過點Q作QA⊥x軸交PC于點A，作QB⊥y軸于點B，交FM于點G，設(shè)點M的坐標(biāo)為(a，b)，

圖①

∵點P的坐標(biāo)為（2，1），點Q的坐標(biāo)為（，4），

∴AE=a-，PE=2-a，

∵ME∥BC,QM:PM=1:2，

∴AE:PE=1:2，

∴2-a=2(a-)，解得a=1，

同理根據(jù)FM∥AP，根據(jù)QG:AG=QM:PM=1:2，

可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=3．

所以點M的坐標(biāo)為（1，3），代入y=kx可得k=3；

②OMQ的面積:△OMP的面積=2:1，此時有QM:PM=2:1，如圖②，

圖②

同理可得點M的坐標(biāo)為（，2），代入y=kx可得k=.

故k的值為3或．