【題目】已知,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示,A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連接DE經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8.

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①,將△ADE以DE為軸翻折,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),求G點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),拋物線y=ax2+bx+8的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F,使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,0),B(6,0),

,

解得

∴拋物線的解析式是:y=﹣ x2+ x+8


(2)

解:如圖1

,

作DM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,

設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,n),由翻折的性質(zhì),可得AD=DG,

∵A(﹣4,0),C(0,8),點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(﹣2,4),

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,4),DM=1﹣(﹣2)=1+2=3,

∵B(6,0),C(0,8),

∴AC= =4 ,

∴AD=2

在Rt△GDM中,DG2=DM2+MG2

32+(4﹣n)2=20,解得n=4 ,

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,4+ )或(1,4﹣


(3)

解:存在.

C(0,8),D(﹣2,4),符合條件的點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為:

①如圖2

,

CD∥EF,且CD=EF,CDEF時(shí),對(duì)角線的交點(diǎn)(﹣ ,4),E1(﹣1,0),F(xiàn)1(1,4);

②如圖3

CD∥EF,且CD=EF,CDFE時(shí),對(duì)角線的交點(diǎn)( ,2),E2(3,0),F(xiàn)2(1,﹣4);

③如圖4

,

DE∥CF,DE=CF,DECF時(shí),對(duì)角線的交點(diǎn)(﹣1,6),E3(﹣3,0),F(xiàn)3(1,12).

綜上所述:E1(﹣1,0),F(xiàn)1(1,4);E2(3,0),F(xiàn)2(1,﹣4);E3(﹣3,0),F(xiàn)3(1,12)


【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì),可得D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)勾股定理,可得AC的長,根據(jù)翻折的性質(zhì),可得DG的長,再根據(jù)勾股定理,可得方程,根據(jù)解方程,可得答案.(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得答案.
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.
C.
D.

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將圖1中的ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°α<90°,如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由。

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題設(shè)已知;______

結(jié)論求證:______

理由:

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A. B. C. D.

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