【題目】定義:若某拋物線上有兩點A、B關(guān)于原點對稱,則稱該拋物線為完美拋物線.已知二次函數(shù)y=ax2-2mx+c(a,m,c均為常數(shù)且ac≠0)是完美拋物線”:

(1)試判斷ac的符號;

(2)若c=-1,該二次函數(shù)圖象與y軸交于點C,且SABC=1.

①求a的值;

②當該二次函數(shù)圖象與端點為M(-1,1)、N(3,4)的線段有且只有一個交點時,求m的取值范圍.

【答案】(1) ac<0;(2)a=1;m>m<

【解析】

(1)設(shè)A(p,q).則B(-p,-q),把A、B坐標代入解析式可得方程組即可得到結(jié)論;
(2)由c=-1,得到p2,a>0,且C(0,-1),求得p=±,①根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)果;②由①可知:拋物線解析式為y=x2-2mx-1,根據(jù)M(-1,1)、N(3,4).得到這些MN的解析式y=x+(-1≤x≤3),聯(lián)立方程組得到x2-2mx-1=x+,故問題轉(zhuǎn)化為:方程x2-(2m+)x-=0-1≤x≤3內(nèi)只有一個解,建立新的二次函數(shù):y=x2-(2m+)x-,根據(jù)題意得到(Ⅰ)若-1≤x1<3x2>3,(Ⅱ)若x1<-1-1<x2≤3:列方程組即可得到結(jié)論.

(1)設(shè)A(p,q).則B(-p,-q),
A、B坐標代入解析式可得:


∴2ap2+2c=0.即p2,
≥0,
∵ac≠0,
>0,
∴ac<0;
(2)∵c=-1,
∴p2,a>0,且C(0,-1),
∴p=±
①SABC=×2×1=1,
∴a=1;
②由①可知:拋物線解析式為y=x2-2mx-1,
∵M(-1,1)、N(3,4).
∴MN:y=x+(-1≤x≤3),
依題,只需聯(lián)立-1≤x≤3內(nèi)只有一個解即可,
∴x2-2mx-1=x+
故問題轉(zhuǎn)化為:方程x2-(2m+)x-=0-1≤x≤3內(nèi)只有一個解,
建立新的二次函數(shù):y=x2-(2m+)x-,
∵△=(2m+2+11>0c=-<0,
∴拋物線y=x2(2m+)xx軸有兩個交點,且交y軸于負半軸
不妨設(shè)方程x2(2m+)x=0的兩根分別為x1,x2.(x1<x2
x1+x2=2m+,x1x2
∵方程x2(2m+)x=0-1≤x≤3內(nèi)只有一個解.
故分兩種情況討論:
(Ⅰ)若-1≤x1<3x2>3:則

.即:,
可得:m>
(Ⅱ)若x1<-1-1<x2≤3:則

.即:,
可得:m<
綜上所述,m>m<

練習冊系列答案
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2)進入12月份,該服裝店決定把剩余羽絨服按10月份標價打九折銷售,結(jié)果全部賣掉,而且這批羽絨服總獲利不少于12700元,問這批羽絨服至少購進多少件?

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