【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+3x軸交于點A、B兩點(AB的左側)與y軸交于C點,且OAOC=13SABC=6

1)求拋物線的函數(shù)關系式;

2)拋物線上是否存在一點D(點C除外),使SABD=SABC?若存在,求出D點坐標;若不存在,說明理由.

3)拋物線上是否存在一點E(點B除外),使SACE=SABC?若存在,求出E點坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+32拋物線上存在一點D(點C除外),使SABD=SABCD點坐標(2,3),(1﹣﹣3),D1+﹣3);3)存在,E﹣4﹣21).

【解析】

試題分析:1)根據(jù)三角形的面積,可得AB的長,根據(jù)線段的和差,可得B點坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

2)根據(jù)平行線間的距離相等,可得D點的縱坐標,根據(jù)函數(shù)值,可得答案;

3)根據(jù)平行線的一次函數(shù)的一次項系數(shù)相等,可得BE的解析式,根據(jù)解方程組,可得E點坐標.

解:(1)當x=0時,y=3,即OC=3

OAOC=13

解得OA=1,即A點坐標為(﹣10).

SABC=ABOC=6,

解得AB=4﹣1+4=3

B3,0).

A、B點的坐標代入函數(shù)解析式,得

解得,

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

2)如圖1

,

根據(jù)平行線間的距離相等,可得D點的縱坐標為3﹣3

y=3時,﹣x2+2x+3=3,解得x=0(不符合題意,舍),x=2,

D點的坐標為(23);

y=﹣3時,﹣x2+2x+3=﹣3

解得x=1﹣,x=1+,

D點坐標為(1﹣,﹣3),(1+,﹣3);

綜上所述:拋物線上存在一點D(點C除外),使SABD=SABC,D點坐標(2,3),(1﹣,﹣3),D1+,﹣3);

3)過點BAC平行線,如圖2

,

SACE=SABC,由平行線間的距離相等,得

AC的函數(shù)解析式y=kx+b,將A、C點的坐標代入函數(shù)解析式,得

,

解得

函數(shù)解析式為y=3x+3,

BEAC,設BE的解析式為y=3x+b,將B點坐標代入函數(shù)解析式,得

3×3+b=0

解得b=﹣9,

BE的解析式為y=3x﹣9,

聯(lián)立BE與拋物線,得

,

解得x=﹣4,x=3(不符合題意,舍),

x=﹣4時,y=3×﹣4﹣9=﹣21,

E﹣4﹣21).

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(3)小明聯(lián)想到了曾經解決的一個問題:如圖3,在△ABC中,BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB,∠P與∠A有何數(shù)量關系?請直接寫出答案_

(4)如圖4,在四邊形ABCD中,BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB,∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關系?為什么?(若需要利用上面的結論說明,可直接使用,不需說明理由)

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