Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，點(diǎn)E、F在邊AD上運(yùn)動，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動上，點(diǎn)H所運(yùn)動的圓弧的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明∠AHB=90°，即點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，再根據(jù)弧長公式求解即可得到答案．

∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45°
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，

即∠AHB=90°，
∴點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，

以AB的中心O為圓心，以OA為半徑畫弧，與BD交于I，如圖：

當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到D的位置以及F點(diǎn)運(yùn)動到A的位置時，是H運(yùn)動的軌跡的一個端點(diǎn)，

此時，I剛好與H重合（恰好是正方形的中心），

∴此時的圓心角恰好是90°，

根據(jù)弧長公式得到H運(yùn)動的弧長為：，

故答案為：．