Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，連接和．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)的周長最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-6；（2）（，-5）．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，再將其代入y=x2+bx+c即可；

（2）先確定BC交對稱軸于點(diǎn)D，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)AD+CD有最小值，而AC的長度是定值，故此時(shí)△ACD的周長取最小值，求出直線BC的解析式，再求出其與對稱軸的交點(diǎn)即可；

（1）∵OA=2，OC=6，

∴A（-2，0），C（0，-6），

將A（-2，0），C（0，-6）代入y=x2+bx+c，

得，

解得，b=-1，c=-6，

∴拋物線的解析式為：y=x2-x-6；

（2）在y=x2-x-6中，

對稱軸為直線x=，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對稱軸x=對稱，

∴如圖，可設(shè)BC交對稱軸于點(diǎn)D，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)AD+CD有最小值，

而AC的長度是定值，故此時(shí)△ACD的周長取最小值，

在y=x2-x-6中，

當(dāng)y=0時(shí)，x1=-2，x2=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx-6，

將點(diǎn)B（3，0）代入，

得，k=2，

∴直線BC的解析式為y=2x-6，

當(dāng)x=時(shí)，y=-5，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，-5）．