Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD與BC相交于點M，且BM=MC，過點D作BC的平行線，分別與AB、AC的延長線相交于點E、F．

（1）求證：EF與⊙O相切；

（2）若BC=2，MD=，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）由AD是⊙O的直徑，BM=MC可得AD⊥BC，結(jié)合EF∥BC可得AD⊥EF，從而根據(jù)“切線的判定定理”可得EF與⊙O相切；

（2）如圖1，連接OB，過點C作CN⊥EF于點N.先證△OBM是Rt△，由勾股定理建立方程解此OB的長，因此可得AD的長和AM的長；證△ABC∽△AEF，從而可解得EF的長；在Rt△AMC中，計算出tan∠AMC的值，從而可得∠MAC=30°，由此可得∠NCF=30°，結(jié)合CN=MD可在Rt△NCF中解得得NF的長，即可由EN=EF-NF得到EN的長，這樣在Rt△ECN中即可由勾股定理解得CE的長了.

試題解析：

（1）∵AD是⊙O的直徑，AD與BC相交于點M，且BM=MC，

∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

∴EF與⊙O相切；

（2）連接OB，

在△OBM中，BM2+OM2=OB，即（）+（OB﹣）=OB2，OB=2

∴OM=MD=，

∵BC∥EF，

∴△ABC∽△AEF

∴，

∴EF===，

∵tan∠CAM=，

∴∠CAM=30°，

作CN⊥EF，

∵AD⊥EF，

∴CN∥AD，

∴∠FCN=∠CAM=30°，

∵BC∥EF，

∴四邊形MDNC是矩形，

∴CN=MD=，

∴NF=CNtan30°=×=，

∴EN=EF﹣NF=﹣=，

∴EC==．