Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足∠PBC＝∠PCA，則線段AP長的最小值為（　�。�

A.0.5B.﹣1C.2﹣D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

先計(jì)算出∠PBC+∠PCB＝45°，則∠BPC＝135°，利用圓周角定理可判斷點(diǎn)P在以BC為弦的⊙O上，如圖，連接OA交于P′，作所對的圓周角∠BQC，利用圓周角定理計(jì)算出∠BOC＝90°，從而得到△OBC為等腰直角三角形，四邊形ABOC為正方形，所以OA＝BC＝2，OB=，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到AP≥OA﹣OP（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、O共線時(shí)取等號，即P點(diǎn)在P′位置），于是得到AP的最小值.

解：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，

∵∠PBC＝∠PCA，

∴∠PBC+∠PCB＝45°，

∴∠BPC＝135°，

∴點(diǎn)P在以BC為弦的⊙O上，如圖，連接OA交于P′，

作所對的圓周角∠BQC，則∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴四邊形ABOC為正方形，

∴OA＝BC＝2，

∴OB＝BC＝，

∵AP≥OA﹣OP（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、O共線時(shí)取等號，即P點(diǎn)在P′位置），

∴AP的最小值為2﹣．

故選：C．