【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(5,0),B(﹣1,0)兩點,與y軸交于點C(0, ).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點P,使得△ACP是以點A為直角頂點的直角三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)點G為拋物線上的一動點,過點G作GE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線,垂足為點F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時,求出點G的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(5,0),B(﹣1,0)兩點,與y軸交于點C(0, ),

∴設(shè)拋物線的解析式是y=a(x﹣5)(x+1)1),

=a×(﹣5)×1,解得a=﹣

則拋物線的解析式是y=﹣ (x﹣5)(x+1)=﹣ x2+2x+


(2)

解:存在.

當(dāng)點A為直角頂點時,過A作AP⊥AC交拋物線于點P,交y軸于點H,如圖.

∵AC⊥AP,OC⊥OA,

∴△OAC∽△OHA,

= ,

∴OA2=OCOH,

∵OA=5,OC= ,

∴OH=10,

∴H(0,﹣10),A(5,0),

∴直線AP的解析式為y=2x﹣10,

聯(lián)立 ,

∴P的坐標(biāo)是(﹣5,﹣20).


(3)

解:∵DF⊥x軸,DE⊥y軸,

∴四邊形OFDE為矩形,

∴EF=OD,

∴EF長度的最小值為OD長度的最小值,

當(dāng)OD⊥AC時,OD長度最小,

此時SAOC= ACOD= OAOC,

∵A(5,0),C(0, ),

∴AC=

∴OD= ,

∵DE⊥y軸,OD⊥AC,

∴△ODE∽△OCD,

= ,

∴OD2=OECO,

∵CO= ,OD= ,

∴OE=2,

∴點G的縱坐標(biāo)為2,

∴y=﹣ x2+2x+ =2,

解得x1=2﹣ ,x2=2+

∴點G的坐標(biāo)為(2﹣ ,2)或(2+ ,2).


【解析】(1)運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式;(2)以A為直角頂點,根據(jù)點P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系,就可求出點P的坐標(biāo);(3)連接OD,易得四邊形OFDE是矩形,則OD=EF,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時,OD(即EF)最短,然后只需求出點D的縱坐標(biāo),就可得到點P的縱坐標(biāo),就可求出點P的坐標(biāo).

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(1)2016年A型節(jié)能電動車每輛售價多少萬元?(用列方程方法解答)
(2)小李車行計劃端午節(jié)后新購進一批A型節(jié)能電動車和新型B型節(jié)能電動車,每購進3輛節(jié)能電動車,批發(fā)商就給車行返回1500元.若新款B型節(jié)能電動車的進貨數(shù)量是A型節(jié)能電動車的進貨數(shù)量的2倍,全部銷售獲得的利潤不少于18萬元,且2016年A,B兩種型號節(jié)能電動車的進貨和銷售價格如表,那么2016年新款B型節(jié)能電動車至少要購進多少輛?

A型節(jié)能電動車

B型節(jié)能電動車

進貨價格(萬元/輛)

0.55

0.7

銷售價格(萬元/輛)

2016年的銷售價格

2

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(1)寫出點 ,, 的坐標(biāo)

(2)在圖中畫出平移后的三角形 ;

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